How to Write a Solution

Have a Plan
by Richard Rusczyk

Your goal in writing a clear solution is to prevent the reader from having to think. You must express your ideas clearly and concisely. The experienced reader should never have to wonder where you are headed, or why any claim you make is true. The first step in writing a clear solution is having a plan. Make a simple outline of your solution. Include the items you'll need to define, and the order in which you will write up the important parts of your solution. The outline will help ensure that you don't skip anything and that you put your steps in an order that's easy to follow.

Here's a sample problem:

Problem: A sphere of radius r is inscribed in a tetrahedron. Planes tangent to this sphere and parallel to the faces of the tetrahedron cut off four small tetrahedra from the tetrahedron; these small tetrahedra have inscribed spheres with radii a,b,c,d. Show that a+b+c+d = 2r.

Here's a solution that looks short but is pretty tough to read:

How Not to Write the Solution: Let our tetrahedron be ABCD. The small tetrahedron which includes vertex A is similar to the big tetrahedron. Since the face of this tetrahedron parallel to face BCD is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and this parallel face of the small tetrahedron is 2r. Let's call that small tetrahedron AXYZ. Hence, the altitude from A in AXYZ is h_a - 2r, where h_a is the length of the altitude from A to side BCD. Therefore the ratio of the altitudes from A in AXYZ and ABCD is (h_a - 2r)/h_a. Since these two tetrahedrons are similar with ratio a/r (since that's the ratio of the corresponding lengths, namely the radii of the inscribed spheres) we have a/r = (h_a - 2r)/h_a.

The volume of the tetrahedron is [A]h_a/3, where [A] is the area of triangle BCD. The volume of the tetrahedron can also be written rS/3, where S is the surface area of ABCD. We can prove that by letting I be the center of the inscribed sphere. Then the volume of the tetrahedron is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is r[D]/3, where [D] is defined like we defined [A] above. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. When we add them all up, we get

Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3.

We set that equal to our other volume expression and get h_a = rS/[A].If we rearrange our equation from above, we have a = r - 2r²/h_a. We can then put in the h_a expression we just found to get

a = r - 2r[A]/S.

If we define [B], [C], and [D] just like we defined [A], we can use the same argument to get:

b = r - 2r[B]/S
c = r - 2r[C]/S
d = r - 2r[D]/S

Adding these and our expression for A, we get

a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,

as desired..

(General solution method found by community member zabelman in the Olympiad Geometry class.)

The main problem with the above solution is one of organization. We defined variables after they popped up. Midway through the solution we sidetracked to prove the volume of ABCD is rS/3. Sometimes we wrote important equations right in our paragraphs instead of highlighting them by giving them their own lines.

If we outline before writing the solution, we won't have these problems. We can list what we need to define, decide what items we need to prove before our main proof (we call these lemmas), and list the important steps so we know what to highlight.

Our scratch sheet with the outline might have the following:

Stuff to define: ABCD, h_a, S, [A], AXYZ.
Order of things to prove:

1. Volume ABCD = rS/3 (lemma)
2. Show altitude AXYZ = h_a - 2r
3. Use similarity to get a = r - 2r²/h_a
4. equate volumes to get 1/h_a = A/(rS),
5. sub 4 into 3 and add

This list looks obvious once you have it written up, but if you just plow ahead with the solution without planning, you may end up skipping items and having to wedge them in as we did in our 'How Not to Write the Solution'.

How to Write the Solution: Let our original tetrahedron be ABCD. We define:

[A] = the area of the face of ABCD opposite A
h_a= the length of the altitude from A to BCD
S = the surface area of ABCD
AXYZ = one of the small tetrahedrons formed as described

Define [B], [C], [D] and h_b,h_c,h_d similarly.

Lemma: The volume of tetrahedron ABCD is given by rS/3.
Proof: Let I be the center of the inscribed sphere. The volume of ABCD is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is (r)[D]/3, since the altitude from I to ABC is a radius of the inscribed sphere of ABCD. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. Adding these four tetrahedra gives us

Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3

as desired.

---------------end lemma---------------

Since face XYZ of small tetrahedron AXYZ is parallel to face BCD, tetrahedron AXYZ is similar to ABCD. The ratio of corresponding lengths in these tetrahedra equals the ratio of the radii of their inscribed spheres, or a/r.

Since XYZ is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and XYZ is 2r. Hence, the altitude from A to XYZ is h_a - 2r. Therefore the ratio of the altitudes from A in the two tetrahedra is (h_a - 2r)/h_a. Hence,

a/r = (ha - 2r)/ha, or a = r - 2r2/ha.

(1)

The volume of the tetrahedron is h_a[A]/3. Setting this equal to the expression from Lemma 1 yields

h_a = rS/[A],

and substituting this into equation (1), we get

a = r - 2r[A]/S.

By the same argument, we have:

b = r - 2r[B]/S
c = r - 2r[C]/S
d = r - 2r[D]/S

Adding these and our expression for A, we get

a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,

as desired.

(General solution method found by community member zabelman in the Olympiad Geometry class.)

Kelebek etkisi

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir. Kelebek Etkisi'ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.

Not: Lorenz'in 1963'te yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz diferansiyel denkleminin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirine karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç birçok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir. .

Kriptografik içinde kelebek etkisi

Kriptografik özet fonksiyonları, girdinin boyutundan bağımsız olarak sabit değerli özetler üretecek şekilde hazırlanırlar ve veri bütünlüğünün garanti edilmesinde kullanılırlar. Dolayısıyla verinin bir bitinin bile değişmesi sonuç değerin yarısından fazlasının değişmesine neden olmalıdır. Bu etkiye kriptografide "avalanche effect" ya da "yığın etkisi" de denir.

Kaynak: Genbilim

Pisagor'un sayılara inancı

Pisagorcular tek ve çift sayilar arasindaki farktan çok etkilenmisler ve evrendeki her seyi iki katogoriye ayirma noktasina varmislardir.Sag tarafa bagli olan tek sayilar, sinirli, eril, sakin, dogru olan ile isik ve iyilikle ve geometride kare ile irtibatlidir.

Buna karsilik çift sayilar sonsuzun, sinirsizin, (sonsuz sekilde bölünebilir olarak) çesitlinin, sol tarafin, disilin, hareketlinin, egrinin, karanligin, kötünün ve geometride dikdörtgenin sahasina dahildir. Tek ve çift sayilar yoluyla açiklanan bir ile çok arasindaki bu zitlik daha sonralari genellikle mistizmde bir hedef olarak bölünmemis mutlak birlik seklinde vurgulanir.Tek sayilar bu yüzden halk inancinda hatta Tanri-bilimsel akil yürütmelerde bile önemli bir rol oynamistir.

Eflatun için, bütün çift sayilar kötülük alametiydi. Hopper,dogru sekilde söyle ifade eder.”disi sayilar sanki yeterli sekilde hor görülmemislermis gibi, sonsuzluk damgasi da görünüse göre çizgi benzetmesiyle onlara vurulmustur.” Virgil, (numero deus impare guadet) ”Tanri tek sayilardan hoslanir.” der.

Ayni fikir Islam-i gelenekte de sürdürülür ve söyle denir; Süphesiz Tanri tektir ve tek sever. Shakespeare’de söyle ifade eder.”tek sayilarda tanrisallik vardir.” Tek sayilardan hoslanma meyli ayin fiillerinin, dualarin, büyüsel sözcüklerin ve benzerlerinin tek sayilarda tekrarlanmasi adetine yol açmistir.Büyü 3 veya 7 kez yapilir ve bir dua veya “amin” ile biten cümleler üç kere tekrarlanir.

Büyüsel dügümlerde tek sayilarda baglanirdi. Talmud tek sayilarin kullanimi ve çift sayilardan kaçinmak hakkinda çok miktarda örnekle doludur. Günümüzde ise tek sayida çiçek içeren buketler göndermek adettir. Pisagorcular sayilari daha çok geometrik sekillerle irtibatlandirirlardi.3, 6, 10, 15 üçgensel sayilar, 1, 4, 9, 16, 25 karesel sayilar (yani 1, 2, 3, 4, 5’in kareleri).Nokta 1’e , çizgi 2’ye mekan 3’e (çünkü önce üçgende görülür) ve cisim 4’e (4 mekan tarafindan çevrildiginden) aittir. Pisagorcu sistemde en mükemmel sayi 10’dur.

Çünkü ilk dört tam sayinin toplami dir.(1+2+3+4) ve bir eskenar üçgen tarafindan temsil edilebilir.Böylece çokluk 10’da yine teklik haline gelir.Bu sebepten Pisagorcular kozmik düzende kendi sistemleri içine yerlestirmek için 10 göksel cisim kesfetmeye gayret ettiler. Ve onuncunun yoklugunda onu icad ettiler. Aristo (I.Ö.384-322),metafizik ile ilgili ilk kitabinda Pisagorcu sayi gizemciligi hakkinda biraz olsa da elestirsel yazar.Tamamen matematige batmis olarak onlarin, sayi ilkelerini var olan her seyin ilkesi olarak varsaydiklarini ifade eder.
Matematikte oldugu gibi sayilar, tabiatiyla ilk nesnedir.Pisagorcular sayilarda var olan ve olacak olacak seylerin bir çok benzerliklerini teshis etmeyi düsündüler.Ates, hava, su, toprak unsurlari gibi; Onlar ayrica müzik notalarinin sayilara göre sekillendirilmis olarak görünmesi gibi sayilarinin unsurlarini da var olan her seyin unsurlari olarak degerlendirdiler ve gögün bütün çatisinin ahenk ve sayi olduguna inandilar.Sayilarin belirtisinden birinin de adalet oldugu, bir digerinin ise ruh veya akil oldugu farz edildi.Belirtilerin diger biçimleri zaman ve firsatti ve böylece hiçbir sekilde var olmamis her sey bir yandan sayilarla uyumlar arasindaki, bir yandan da gögün nitelik ve parçalari ile bütün alem arasindaki uygunluklari topladilar ve karsilastirdilar ve atlanmis bir sey varsa suni bir yapistirici sistemde ki her yerde iliskiler saglamak için yardim etti.

Mesala, 10 sayisinin onlara en mükemmel sey ve bunun yaninda bunun yaninda bütün sayilar alanini kucaklar gibi görünmesinin bir sonucu olarak yildiz türünden gökte dolanan 10 cisimde bulunmaliydi.Fakat, görünen sadece 9 cisim varken onlar onuncu bir cisim icat ettiler; görünmez bir karsi-dünya. Aristo tarafindan adalete isaret etmek üzere seçilen sayi 4 tür.Çünkü, es etkenlerin ürünüdür.

Yani ilk kare sayidir.Pisagorcu düsünürler için, bu tür esitlikler kesfetmeye çalistiklari uyum ve güzelligin objektif ölçülerinin dogrulugunu gösterdi. Hayatin ölçülerinin ve her seyi kucaklayan uyumun süregelen arastirmasiyla birlikte Eflatun bile sayilarin Tabiatin gizemlerini çözmek için bazi anahtarlar içerdigini kabul etmisti.

Pisagorcu ve Eflatuncu fikirler Yeni Eflatunculuga ve Gnostik sistemlere nakloldu ve sayi mistizmine yol açti. Kurdugu Yeni Eflatuncu sistemi, üç dindeki mistik akimlari etkileyen Plotin söyle der; ”Sayilar onlar tarafindan tanimlanan objelerden önce var olurlar.Duyu objelerinin farkliligi adeta sayi mefhumunun ruhunu hatirlatir.” Bu düsünce çizgisinde devam ederek Iskenderiyeli Filo, Eski Ahid ve Pisagorcu gelenekteki fikirleri kaynastirdi ve böylece agirlikli olarak sayi mistizmi tarafindan belirlenen Ortaçag Kitab-i Mukaddes yayinlari için esas olusturdu.

Bununla birlikte ortaçag dünyasinda Pisagorcu gelenegin en önemli gelisimi Kabaladir.Kabala yüksek derecede karisik bir sayi mistizmi üzerine kuruludur.Buna göre asli 1 kendini 10 Sefirota böler.Sefirotlar gizemli sekilde birbirleriyle baglantilidir ve onlar arasinda köprü vazifesi Ibrani Alfabesinin 22 harfiyle beraber isgörürler.
En üstteki sefirot, Keter (TAÇ) dir.Onun disinda Hokhmah (HIKMET) ve Binah (AKIL) dallarina ayrilir.Dördüncü sefirot Hesed (ASK) veya Gedullah (AZAMET) diye adlandirilir.Besincisi Gevurak (ADALET) tir.Altincisi Tiferet (GÜZELLIK) ve yedincisi Netsah (ZAFER) bunlara Hod (IHTISAM) sekizinci olarak Yesod (TEMEL) dokuzuncu olarak ve son olarakta Malkhut (HÜKÜMDARLIK ve GERÇEKLIK) eklenir.

Ibrani harfleri sayi olarakta is gördüklerinden sefirotun sekli ve onun türemeleri, evrenin farkli kisimlari arasinda ilginç iliskilere yol açmistir. Ortaçag Hiristiyanligi, gnostik tarikatlar arasinda da ayni gelenegi paylasmistir..Seville’li Isodere’nin yazdigi gibi “ Tolle numeroum omnibus rebus et omnia pereunt “ [ Bütün nesnelerin sayilarini alin hepsi çürüyecektir.]Kitab-i Mukaddes’de her seyin sayi ve ölçü ile düzenlendigini söylemez mi?

Kaynak: Genbilim