tag:blogger.com,1999:blog-37214342061073065552024-02-20T04:33:09.572-08:00Matematik Makalelermurathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.comBlogger32125tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-1938156065787293012008-05-19T09:19:00.006-07:002008-05-19T09:31:51.897-07:00How to Write a Solution<span class="articlesubtitle">Have a Plan</span><br /><span class="articlesig">by Richard Rusczyk</span> <p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Your goal in writing a clear solution is to prevent the reader from having to think. You must express your ideas clearly and concisely. The experienced reader should never have to wonder where you are headed, or why any claim you make is true. The first step in writing a clear solution is having a plan. Make a simple outline of your solution. Include the items you'll need to define, and the order in which you will write up the important parts of your solution. The outline will help ensure that you don't skip anything and that you put your steps in an order that's easy to follow.</span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Here's a sample problem:</span></p><div class="aopshowwriteprob"><strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Problem</span></strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">: A sphere of radius r is inscribed in a tetrahedron. Planes tangent to this sphere and parallel to the faces of the tetrahedron cut off four small tetrahedra from the tetrahedron; these small tetrahedra have inscribed spheres with radii a,b,c,d. Show that a+b+c+d = 2r.</span></div><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Here's a solution that looks short but is pretty tough to read:</span></p><div class="aopshowwritesoln"><div align="left"><strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">How Not to Write the Solution</span></strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">: Let our tetrahedron be ABCD. The small tetrahedron which includes vertex A is similar to the big tetrahedron. Since the face of this tetrahedron parallel to face BCD is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and this parallel face of the small tetrahedron is 2r. Let's call that small tetrahedron AXYZ. Hence, the altitude from A in AXYZ is h<sub>a</sub> - 2r, where h<sub>a</sub> is the length of the altitude from A to side BCD. Therefore the ratio of the altitudes from A in AXYZ and ABCD is (h<sub>a</sub> - 2r)/h<sub>a</sub>. Since these two tetrahedrons are similar with ratio a/r (since that's the ratio of the corresponding lengths, namely the radii of the inscribed spheres) we have a/r = (h<sub>a</sub> - 2r)/h<sub>a</sub>. </span></div><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">The volume of the tetrahedron is [A]h<sub>a</sub>/3, where [A] is the area of triangle BCD. The volume of the tetrahedron can also be written rS/3, where S is the surface area of ABCD. We can prove that by letting I be the center of the inscribed sphere. Then the volume of the tetrahedron is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is r[D]/3, where [D] is defined like we defined [A] above. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. When we add them all up, we get</span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3.</span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">We set that equal to our other volume expression and get <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>a</sub> = rS/[A]</span>.</span><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">If we rearrange our equation from above, we have <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a = r - 2r<sup>2</sup>/h<sub>a</sub>. We can then put in the <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>a</sub></span> expression we just found to get </span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a = r - 2r[A]/S</span>. </span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">If we define [B], [C], and [D] just like we defined [A], we can use the same argument to get:</span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">b<span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"> = r - 2r[B]/S<br />c <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">= r - 2r[C]/S</span><br />d <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">= r - 2r[D]/S</span></span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Adding these and our expression for A, we get </span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r, </span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">as desired.</span></span><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">.</span> </p><div align="left"><span style="font-family:Times New Roman, Times, serif;font-size:85%;"><em>(General solution method found by community member <strong>zabelman</strong> in the Olympiad Geometry class.)</em></span> </div></div><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">The main problem with the above solution is one of organization. We defined variables after they popped up. Midway through the solution we sidetracked to prove the volume of ABCD is rS/3. Sometimes we wrote important equations right in our paragraphs instead of highlighting them by giving them their own lines. </span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">If we outline before writing the solution, we won't have these problems. We can list what we need to define, decide what items we need to prove before our main proof (we call these lemmas), and list the important steps so we know what to highlight. </span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Our scratch sheet with the outline might have the following:</span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Stuff to define: ABCD, <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>a</sub></span></span>, S, [A], AXYZ.<br />Order of things to prove:</span></p><ol><li><div align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Volume ABCD = rS/3 (lemma)</span></div><li><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Show altitude AXYZ = h<sub>a</sub> - 2r</span> <li><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Use similarity to get a = r - 2r<sup>2</sup>/h<sub>a</sub></span> <li><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">equate volumes to get 1/h<sub>a</sub> = A/(rS), </span><li><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">sub 4 into 3 and add </span></li></ol><p><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">This list looks obvious once you have it written up, but if you just plow ahead with the solution without planning, you may end up skipping items and having to wedge them in as we did in our 'How Not to Write the Solution'.</span></p><div align="left"><div class="aopshowwritesoln"><div align="left"><strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">How to Write the Solution</span></strong><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">: <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Let our original tetrahedron be ABCD. We define:</span></span></div><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">[A] = the area of the face of ABCD opposite A<br /><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>a</sub></span>= the length of the altitude from A to BCD<br />S = the surface area of ABCD<br />AXYZ = one of the small tetrahedrons formed as described</span></span></p><p><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Define [B], [C], [D] and <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>b</sub></span>,<span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>c</sub></span>,<span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>d</sub></span> similarly.<br /><br /><strong>Lemma</strong>: The volume of tetrahedron ABCD is given by rS/3.<br /><strong>Proof</strong>: Let <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">I be the center of the inscribed sphere. The volume of ABCD is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is (r)[D]/3, since the altitude from I to ABC is a radius of the inscribed sphere of ABCD. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. Adding these four tetrahedra gives us </span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3</span></p><p><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">as desired. </span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">---------------end lemma---------------</span></p><p><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Since face XYZ of small tetrahedron AXYZ is parallel to face BCD, tetrahedron AXYZ is similar to ABCD. <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">The ratio of corresponding lengths in these tetrahedra equals the ratio of the radii of their inscribed spheres, or a/r. </span></span></p><p><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Since XYZ is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and XYZ is 2r. Hence, the altitude from A to XYZ is h<sub>a</sub> - 2r. Therefore the ratio of the altitudes from A in the two tetrahedra is (h<sub>a</sub> - 2r)/h<sub>a</sub>. Hence,</span></span></p><table cellspacing="0" cellpadding="4" width="100%" border="0"><tbody><tr><td width="95%" height="25"><div align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a/r = (h<sub>a</sub> - 2r)/h<sub>a</sub>, or a = r - 2r<sup>2</sup>/h<sub>a</sub>.</span></span></div></td><td width="5%"><div align="right"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">(1)</span></div></td></tr></tbody></table><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">The volume of the tetrahedron is h<sub>a</sub>[A]/3. </span>Setting this equal to the expression from Lemma 1 yields</span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">h<sub>a</sub> = rS/[A],</span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">and substituting this into equation (1), we get </span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a = r - 2r[A]/S.</span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">By the same argument, we have:</span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">b<span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"> = r - 2r[B]/S<br />c <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">= r - 2r[C]/S</span><br />d <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">= r - 2r[D]/S</span></span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">Adding these and our expression for A, we get </span></span></p><p align="center"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r, </span></span></p><p align="left"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;">as desired.</span></span></p><div align="left"><span style="font-family:Times New Roman, Times, serif;font-size:85%;"><em>(General solution method found by community member <strong>zabelman</strong> in the Olympiad Geometry class.)</em></span> <span style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:100%;"><br /></span></div></div></div>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-12758099215660421302008-05-19T09:19:00.005-07:002008-05-19T09:28:57.429-07:00Kelebek etkisi<p>Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir. Kelebek Etkisi'ni 1963 yılında Edward N. <strong>Lorenz </strong>bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi. </p><p>Not: Lorenz'in 1963'te yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz diferansiyel denkleminin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirine karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç birçok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir. . </p><p>Kriptografik içinde kelebek etkisi </p><p>Kriptografik özet fonksiyonları, girdinin boyutundan bağımsız olarak sabit değerli özetler üretecek şekilde hazırlanırlar ve veri bütünlüğünün garanti edilmesinde kullanılırlar. Dolayısıyla verinin bir bitinin bile değişmesi sonuç değerin yarısından fazlasının değişmesine neden olmalıdır. Bu etkiye kriptografide "avalanche effect" ya da "yığın etkisi" de denir.</p><p>Kaynak: <a href="http://www.genbilim.com/content/view/2901/37/" target="_blank"><span style="color:#000000;">Genbilim</span></a></p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-16813869000772670822008-05-19T09:19:00.004-07:002008-05-19T09:28:11.110-07:00Pisagor'un sayılara inancı<p>Pisagorcular tek ve çift sayilar arasindaki farktan çok etkilenmisler ve evrendeki her seyi iki katogoriye ayirma noktasina varmislardir.Sag tarafa bagli olan tek sayilar, sinirli, eril, sakin, dogru olan ile isik ve iyilikle ve geometride kare ile irtibatlidir.</p><p>Buna karsilik çift sayilar sonsuzun, sinirsizin, (sonsuz sekilde bölünebilir olarak) çesitlinin, sol tarafin, disilin, hareketlinin, egrinin, karanligin, kötünün ve geometride dikdörtgenin sahasina dahildir. Tek ve çift sayilar yoluyla açiklanan bir ile çok arasindaki bu zitlik daha sonralari genellikle mistizmde bir hedef olarak bölünmemis mutlak birlik seklinde vurgulanir.Tek sayilar bu yüzden halk inancinda hatta Tanri-bilimsel akil yürütmelerde bile önemli bir rol oynamistir. </p><p><br />Eflatun için, bütün çift sayilar kötülük alametiydi. Hopper,dogru sekilde söyle ifade eder.”disi sayilar sanki yeterli sekilde hor görülmemislermis gibi, sonsuzluk damgasi da görünüse göre çizgi benzetmesiyle onlara vurulmustur.” Virgil, (numero deus impare guadet) ”Tanri tek sayilardan hoslanir.” der.</p><p> </p><p>Ayni fikir Islam-i gelenekte de sürdürülür ve söyle denir; Süphesiz Tanri tektir ve tek sever. Shakespeare’de söyle ifade eder.”tek sayilarda tanrisallik vardir.” Tek sayilardan hoslanma meyli ayin fiillerinin, dualarin, büyüsel sözcüklerin ve benzerlerinin tek sayilarda tekrarlanmasi adetine yol açmistir.Büyü 3 veya 7 kez yapilir ve bir dua veya “amin” ile biten cümleler üç kere tekrarlanir.<br /><br />Büyüsel dügümlerde tek sayilarda baglanirdi. Talmud tek sayilarin kullanimi ve çift sayilardan kaçinmak hakkinda çok miktarda örnekle doludur. Günümüzde ise tek sayida çiçek içeren buketler göndermek adettir. Pisagorcular sayilari daha çok geometrik sekillerle irtibatlandirirlardi.3, 6, 10, 15 üçgensel sayilar, 1, 4, 9, 16, 25 karesel sayilar (yani 1, 2, 3, 4, 5’in kareleri).Nokta 1’e , çizgi 2’ye mekan 3’e (çünkü önce üçgende görülür) ve cisim 4’e (4 mekan tarafindan çevrildiginden) aittir. Pisagorcu sistemde en mükemmel sayi 10’dur.<br /><br />Çünkü ilk dört tam sayinin toplami dir.(1+2+3+4) ve bir eskenar üçgen tarafindan temsil edilebilir.Böylece çokluk 10’da yine teklik haline gelir.Bu sebepten Pisagorcular kozmik düzende kendi sistemleri içine yerlestirmek için 10 göksel cisim kesfetmeye gayret ettiler. Ve onuncunun yoklugunda onu icad ettiler. Aristo (I.Ö.384-322),metafizik ile ilgili ilk kitabinda Pisagorcu sayi gizemciligi hakkinda biraz olsa da elestirsel yazar.Tamamen matematige batmis olarak onlarin, sayi ilkelerini var olan her seyin ilkesi olarak varsaydiklarini ifade eder.<br />Matematikte oldugu gibi sayilar, tabiatiyla ilk nesnedir.Pisagorcular sayilarda var olan ve olacak olacak seylerin bir çok benzerliklerini teshis etmeyi düsündüler.Ates, hava, su, toprak unsurlari gibi; Onlar ayrica müzik notalarinin sayilara göre sekillendirilmis olarak görünmesi gibi sayilarinin unsurlarini da var olan her seyin unsurlari olarak degerlendirdiler ve gögün bütün çatisinin ahenk ve sayi olduguna inandilar.Sayilarin belirtisinden birinin de adalet oldugu, bir digerinin ise ruh veya akil oldugu farz edildi.Belirtilerin diger biçimleri zaman ve firsatti ve böylece hiçbir sekilde var olmamis her sey bir yandan sayilarla uyumlar arasindaki, bir yandan da gögün nitelik ve parçalari ile bütün alem arasindaki uygunluklari topladilar ve karsilastirdilar ve atlanmis bir sey varsa suni bir yapistirici sistemde ki her yerde iliskiler saglamak için yardim etti.<br /><br />Mesala, 10 sayisinin onlara en mükemmel sey ve bunun yaninda bunun yaninda bütün sayilar alanini kucaklar gibi görünmesinin bir sonucu olarak yildiz türünden gökte dolanan 10 cisimde bulunmaliydi.Fakat, görünen sadece 9 cisim varken onlar onuncu bir cisim icat ettiler; görünmez bir karsi-dünya. Aristo tarafindan adalete isaret etmek üzere seçilen sayi 4 tür.Çünkü, es etkenlerin ürünüdür.<br /><br />Yani ilk kare sayidir.Pisagorcu düsünürler için, bu tür esitlikler kesfetmeye çalistiklari uyum ve güzelligin objektif ölçülerinin dogrulugunu gösterdi. Hayatin ölçülerinin ve her seyi kucaklayan uyumun süregelen arastirmasiyla birlikte Eflatun bile sayilarin Tabiatin gizemlerini çözmek için bazi anahtarlar içerdigini kabul etmisti.<br /><br />Pisagorcu ve Eflatuncu fikirler Yeni Eflatunculuga ve Gnostik sistemlere nakloldu ve sayi mistizmine yol açti. Kurdugu Yeni Eflatuncu sistemi, üç dindeki mistik akimlari etkileyen Plotin söyle der; ”Sayilar onlar tarafindan tanimlanan objelerden önce var olurlar.Duyu objelerinin farkliligi adeta sayi mefhumunun ruhunu hatirlatir.” Bu düsünce çizgisinde devam ederek Iskenderiyeli Filo, Eski Ahid ve Pisagorcu gelenekteki fikirleri kaynastirdi ve böylece agirlikli olarak sayi mistizmi tarafindan belirlenen Ortaçag Kitab-i Mukaddes yayinlari için esas olusturdu.<br /><br />Bununla birlikte ortaçag dünyasinda Pisagorcu gelenegin en önemli gelisimi Kabaladir.Kabala yüksek derecede karisik bir sayi mistizmi üzerine kuruludur.Buna göre asli 1 kendini 10 Sefirota böler.Sefirotlar gizemli sekilde birbirleriyle baglantilidir ve onlar arasinda köprü vazifesi Ibrani Alfabesinin 22 harfiyle beraber isgörürler.<br />En üstteki sefirot, Keter (TAÇ) dir.Onun disinda Hokhmah (HIKMET) ve Binah (AKIL) dallarina ayrilir.Dördüncü sefirot Hesed (ASK) veya Gedullah (AZAMET) diye adlandirilir.Besincisi Gevurak (ADALET) tir.Altincisi Tiferet (GÜZELLIK) ve yedincisi Netsah (ZAFER) bunlara Hod (IHTISAM) sekizinci olarak Yesod (TEMEL) dokuzuncu olarak ve son olarakta Malkhut (HÜKÜMDARLIK ve GERÇEKLIK) eklenir.<br /><br />Ibrani harfleri sayi olarakta is gördüklerinden sefirotun sekli ve onun türemeleri, evrenin farkli kisimlari arasinda ilginç iliskilere yol açmistir. Ortaçag Hiristiyanligi, gnostik tarikatlar arasinda da ayni gelenegi paylasmistir..Seville’li Isodere’nin yazdigi gibi “ Tolle numeroum omnibus rebus et omnia pereunt “ [ Bütün nesnelerin sayilarini alin hepsi çürüyecektir.]Kitab-i Mukaddes’de her seyin sayi ve ölçü ile düzenlendigini söylemez mi?</p><p>Kaynak: <a href="http://www.genbilim.com/content/view/1943/37/" target="_blank"><span style="color:#000000;">Genbilim</span></a> </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-38270821858917252912008-05-19T09:19:00.003-07:002008-05-19T09:27:36.291-07:00Matematiksel İfadeler Nasıl Yazılır<p>Internette matematiksel ifadeleri yazmak, resim formati olmaksizin, gerçekten zordur. Bunun için özel yazim kurallari vardir. Posta yazarken, guruplarda haberlesirken bu yazim kurallari geçerlidir. </p><p>Temel kurallar: Öncelikle, matematiksel ifadeler içeren bir posta gönderirken, yazi tipini esit-aralikli (courier gibi) seçmelidir. Bu hem gönderici hem de alici için, kolonlarin ayni sekilde siralanmasini garantiler. Her 80. kolondan sonra “enter” tusuna basmak da önemlidir. </p><p>Otomatik sarmayi düsünmeden mutlaka her kolondan sonra “enter” tusuna basmalidir. Çogu okuyucu, kesin sira sonlari olmadigindan, postalari görüntülemede zorluk yasamaktadirlar. Lütfen web sayfalarindan kopyala yapistir yoluyla yada yazi-tablolarindan seçerek özel simgeler kullanmayin. Baskasina ulastiginda okuyamayabilir. Ve lütfen, hiçbir yerde “tab” lari da kullanmayin. Bu durumda kolonlarin ayni sekilde siralanmasi gerçeklesmeyebilir. Bu yüzden, her zaman “tab” yerine “bosluk” kullanin. </p><p>Kuvvet alma: x^n gösterimi genel olarak xn manasina gelir. Kuvvet alma islemini ^ sembolünü kullanarak gösterme, kuvveti önceki satirda dogru yere yerlestirebilmekten çok kolaydir. Eger kuvvet birden fazla karakter içeriyorsa, parantez kullanmayi unutmayin - x^(n+1) gibi- örnegin. y = ex fonksiyonunu gösterirken, y = e^x yada y = exp(x) kullanimlari yaygindir.<br /><br />Çarpim: * sembolü aksi söylenmedigi müddetçe çarpim olarak kabul edilir.<br /><br />Karekök: Bir ifadenin karekökleri sqrt(ifade) yada (ifade)^(1/2) ile gösterilir. Daha yüksek dereceli kökler için kuvvet kullanilir, örnegin (ifade)^(1/3) gibi. Oltaya benzeyen kök sembolünü kullanmamaya dikkat edin.<br /><br />Parantezler: Karisiklik olmasi muhtemel yerlerde mutlaka kullanin.<br />anlasilmaz…..anlasilir…..anlasilir<br />1/2a…………1/(2a)………(1/2)a<br />2^n-1……….2^(n-1)……(2^n) - 1<br />e^x^2……….e^(x^2)……(e^x)^2<br />Genelde parantez kullanilmamissa, matematikteki islem sirasi gözetilir.<br />Fonksiyonlari gösterirken argümanti paranteze alin. Örnegin y = sin ^ 2 (2x) gibi.<br /><br />Mutlak deger: x’in mutlak degeri x ile gösterilir. isaretini üreten tus takimi “ALTGR”+”-” (bosluk çubugunun hemen sagindaki ALT tusu ile sag üst köseye yakin olan geri al tusu (<–)).<br /><br />Türev: f ‘(x) gösterimi df /dx gösteriminden daha kolaydir. 2. dereceden türev için f “(x), 3. derece için f “‘(x), 4. derece için f “”(x) vb. Çok yüksek dereceler için ise, dy/dx (y’nin x’e göre türevi) ve d^n y/dx^n (y’nin x’e göre n. dereceden türevi) gösterimleri daha kullanislidir.<br /><br />Esitsizlikler ve Bagintisal semboller: Küçük veya esit için <=, büyük veya esit için >=, esit degil için <> yada !=, yaklasik degeri için ~, daha küçük için <<, daha büyük için >> ve denklik için ? sembollerini kullanin.<br /><br />Yunan harfleri: Bu harfleri ya heceleyebilirsiniz, delta, epsilon, theta ve omega gibi, yada latin harf karsiliklarini kullanabilirsiniz, d, e, q ve w gibi.<br /><br />Özel sayilar: p sayisi “pi” yazarak ifade edilir. Sonsuz gösterilirken, ? yada oo yerine yaziyla sonsuz kullanilir.</p><p> Kaynak: <a href="http://www.genbilim.com/content/view/1941/37/" target="_blank"><span style="color:#000000;">Genbilim</span></a> </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-68430799279802324912008-05-19T09:19:00.002-07:002008-05-19T09:26:36.477-07:00Trigonemetri Tarihi<div><h3>Hint</h3><p></p><p>Içinde bulundugumuz yüzyilin bilimsel arastirmalari, Hint Dünyasinin, özellikle 6., 7., 9. ve 12. yüzyillarda matematik ve astronomide bilimsel bakimdan üstün düzeyde ilginç çalismalarin varligini ortaya çikarmistir. Eserleriyle adlari zamanimiza kadar gelebilen Hint bilginleri, bilim tarihinde kendilerini etkin bir biçimde göstermektedirler. </p><p>Bunlardan; belirttigimiz yüzyillar için-de yasamis olan, Hint matematikçilerinden; Brahmagupta (598 -660), Aryahatha (6. yüzyil), Mahavira (9. yüzyil) ve Bhaskara'nin (1114-1158) adlarini belirtebiliriz.<br /><br />Kaynaklar; Hintli matematikçilerin, özellikle trigonometri konusundaki bilgileri, müspet sekil-de zenginlestirmis olduklarini ve Mezopotamya temelli bilgileri, zamanin bilim dili olan Sans-kritçe ve Pevlevice'den yapilan tercümeler yoluyla, 8. yüzyil ortalarindan itibaren Islam Dün-yasina intikal etmis oldugunu belirtir.<br /></p></div><div><h3>Mısır</h3><p></p><p>ESKI MISIRLILAR'DA TRIGONOMETRI<br />Inceleyebildigimiz kaynaklar; Misir matematiginde seked ve sek kelimelerinin, bir açinin ko-tanjantina den anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, baslangicini eski Mi-sirlilara kadar götürmenin gerektigini belirtir. bu konuda Aydin Sayili "Misirlilar'da ve Mezo-potamyalilar'da Matematik, Astronomi ve Tip" adli eserinde sunlari yazar: Misir'da seked di-sinda, bu konuda herhangi bir gelismeye sahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla ayni olan bir kavramla "Mezopotamya Matematginde" de karsilasilmakta oldugu ve trigo-nometrinin baslangicini Misirlilara götürmek isabetli düsünce sayilmaz. "Misir Geometrisi-nin", "Dogru Geometrisi" olarak vasif tasidigini belirterek, müsterik Gandz'a atfen de Misir'da "Açi Geometrisinin" mevcut olmadigini belirtir.</p><p></p></div><div><h3>Yunan</h3><br /><br />ESKI YUNAN'DA TRIGONOMETRI<br />Trigonometri'de: "Herhangi bir ügende, dik kenarlarin kareleri toplami, hipotenüsün karesine esittir" seklinde temel bir teorem vardir. Bu teoremin adi Pisagor teoremi olarak bilinir. Ger-çekte; bu teoremin varligi, Pisagor'dan ortalama 2000 yil kadar önceleri, Eski Misir ile Mezo-potamyalilar tarafindan Babil çaginda bilinmekte idi. Mezopotamyalilar, bu teoremin, hem özel hem de genel seklini biliyorlardi. Blim tarihi eserleri; Thales'in, Pisagor ve Öklid'in, eski Misir ve Babil yörelerini uzun yillar dolasmis olduklarini belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Misir ve Babil' den elde etmis olduklarini belirtir. <p></p><p></p></div><div><h3>Mezopotamya</h3><p></p><p><br />MEZOPOTAMYALILAR'DA TRIGONOMETRI<br />Inceleyebildigimiz kaynaklar; Mezopotamyalilar'da, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin ilkel bir örnegiyle karsilasilmakta oldugunu, ve Hipparchos'un tri-gonometri çalismalarinin, ilkel baslangicinin "Mezopotamya Matematigine" kadar geri gitme-sinin mümkün sayilabilececgini belirtmektedir. Aydin Sayili, yukarda adi geçen eserinde bu konuda genis bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menseinin Mezopotamyalilar'a kadar geri gittigini ve Mezopotamyalilar'dan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmis olduklarini ileri sürebilir" der.</p><p></p></div><div><h3>Avrupa</h3><p></p><p><br />TRIGONOMETRENIN AVRUPA'DA GÖRÜLMESI<br />8. ile 15.yüzyil Türk - Islam Dünyasi matematik ve astronomi bilginlerinin hazirladiklari eser-lerin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri vardi. Bu durumda; bu devir Türk - Islam Dünyasi'nin ünlü matematik ve astronomi bilginlerinden, Sabit bin Kurra, Beyruni, Ebu'l Vefa, Ali Kusçu ile çagdaslarina ait ilgili eserlerin asillari ya da tercümeleri, Johann Müller ve çagdaslari ile kendisinden önce ve sonra gelen Avrupali matematikçilerin gözlerinden kaçmis olmasi düsünülemez.<br /><br />Johann Müller 8. ile 15. yüzyil Dogu bilim dünyasinin ünlü yazma eserleri ile zengin bir kata-loga sahip olan basta Vatikan ile diger Avrupa kütüphanelerinden elde ettikleri, dogu bilim dünyasindan intikal etmis matematik ve astronomi ile ilgili eserlerin bir kismini incelemis ve zamaninin bilim dili olan Latince'ye çevirmislerdir. Bu çalismalarin sonunda De Triangulis Amnimodis Libri V. adli bir kitap yayinlamislardir. Bu kitap, yukarda sözünü ettigimiz düzlem ve küresel trigonometri konularini kapsayan Latince bir eserdir. Johann Müller'in bu eseri de, ölümünden 57 yil sonra, yani 1533 yilinda Nurnberg'te yayinlanmistir.<br /><br />Bu durumda, Johann Müller'in, El - Battani'den taklid edilmis denilen eser, kendisinin ölümün-den sonra gelen çagdaslari bile, 57 yil anlamakta güçlük çekmis olduklari anlasilmaktadir. El - Battani ve Ebu'l Vefa'dan 500 yil kadar sonra, trigonometri ile ilgili bilgiler; Avrupa'da, Jo-hann Müller ve çagdaslarinin eserleri ile 1533 yilindan itibaren görülmeye ve yayginlasmaya basladigi açik olarak ortaya çikmaktadir.</p><p></p></div><div><h3>Türk-İslam</h3><br /><br />TÜRK - ISLAM DÜNYASI'NDA TRIGONOMETRI<br />Içinde bulundugumuz yüzyilda yapilan bilimsel arastirmalar göstermistir ki; trigonometriye ait temel bilgiler, 8. ile 16. yüzyil Türk - Islam Dünyasi matematikçileri tarafindan ortaya konul-mus ve belli bir noktaya kadar da gelistirilmistir. Bunun nedenini, su sekilde açiklamak müm-kündür. Bi-lindigi gibi, 8. ile 16. yüzyilda Türk - Islam Dünyasi'nin hemen her yöresinde astro-nomi (gökbilim) çalismalari ve bunun sonucu olarak da, yogun bir rasathane (gözlemevi) kurma çalismalari vardi. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalismalarda, astronomiye yardimci olarak, trigonometri kulla-nilmaktaydi. <br /><br />Astronominin temelini teskil eden küresel astronomi, dogrudan dogruya, küresel trigonomet-rinin astronomiye uygulanmasindan dogmustur. Gezegen ve uydu ile yildizlarin gökküresin-deki yerleri (koordinatlari) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin, küresel tri-gonometriye uygulanmasiyla elde edilebilmektedir. Dolayisiyla, o devir Türk - Islam Dünya-si'nda, Trigonometri müstakil bir bilim haline gelmis ve oldukça gelismistir. <br /><br /> 8. ile 16. yüzyil Türk-Islam Dünyasi matematik ve astronomi bilginlerinin hazirlamis olduklari "Ziyc" adli eserin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konul-mustur. Gene bu devir Türk - Islam Dünyasi bilginleri, Batlamyos'un (Claidius ptolemeios 85-160) ünlü eseri, degisik tarihlerde degisik matematik ve astronomi bilginleri tarafindan micisti (almagesti) adiyla serh edilmistir. Bu serhlerde de, yer yer trigonometri bilgileri zenginles-tirilip gelistirildi.<br /><br />Giyasüddin Cemsid ve Trigonometri<br />Giyasüddin Cemsid, 1 derecelik yayin sinüs degerini, bugünkü degerlere göre 18 ondalikli sayiya kadar dogru olarak hesaplamistir. Bu konuda 1 derecelik yayin sinüsüsünü geometri ve cebir yoluyla hesaplamis ve böylece trigonometrik tablolarin tanzim isini sistemle bir esa-sa baglamistir. Dolayisiyla kendisinden sonra gelen Islam Dünyasi ie Bati Dünyasi matema-tikçilerine, zamaninda orjinal olan yeni bilgi hazineleri birakmistir. <p></p><p> </p><p>Remzi Demir </p><p>Kaynak: <a href="http://www.genbilim.com/content/view/1936/37/" target="_blank"><span style="color:#000000;">Genbilim</span></a></p></div>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-42441782515126594222008-05-19T09:19:00.001-07:002008-05-19T09:25:45.051-07:00Matematikten Korkmayın !<p>Kim korkar matematikten?Neden matematik ögreniyoruz? Konustugunuz herkesin matematikle ilgili söyleyecek bir seyleri vardir. Bazi insanlar matematigi sever, kimileri ise pek hoslanmaz. Bazi ögrencilere göre matematik birçok kural ve formülden olusan bir derstir. Kimine göre ise, matematik hayatin içindedir. Alisveriste bir sey satin alacagimiz zaman, yemek yaparken kullanacagimiz malzemenin ölçüsünü ayarlarken, ya da bir bina insa ederken, yani sik sik kullandigimiz bir seydir.<br /><br />Öyleyse matematik sadece sayilardan ibaret bir ders midir?<br /><br />Elbette sayilarin önemi tartisilmaz; fakat matematik ayni zamanda, iliskileri görmeyi, sebeb-sonuç iliskisini kurabilmeyi, okuma ve yazmayi, tablolari, resimleri, grafikleri yorumlayip kullanabilmeyi içerir. Bulmaca çözmek, gazete okumak gibi gündelik faaliyetlerimiz ayni zamanda bizim için birer matematik alistirmasidir.<br /><br />Matematik sinavinda heyecanlaniyorum.<br />Ders zamani ayaklarim geri geri gidiyor.<br />Tahtaya kalkmak benim için bir kâbus Kim korkar matematikten?<br />Neden matematik ögreniyoruz?<br /><br /><br />Konustugunuz herkesin matematikle ilgili söyleyecek bir seyleri vardir. Bazi insanlar matematigi sever, kimileri ise pek hoslanmaz.<br /><br />Matematik kaygisi!<br /><br />“Matematik dersine girecegim zaman ayaklarim geri geri gidiyor. Derste tahtaya kalkmak benim için bir kabus. Derste soru sormaya çekiniyorum. Simdi bazi islemleri anlayabiliyorum ama ileride konularin daha zorlasacagindan endiseleniyorum. En fazla matematik sinavina girecegim zaman heyecanlaniyorum. Sinava nasil hazirlanacagimi bilmiyorum. Derste konulari anliyorum; ama eve geldigimde, sanki hiç sinifta bulunmamisim gibiyim. Matematik dersinden kalmaktan korkuyorum.” Yukaridaki ifadeler sizden bir seyler barindiriyorsa, matematik kaygisi tasiyor olabilirsiniz. Matematik kaygisi, matematik dersine karsi duyulan duygusal bir tepkidir. Geçmiste yasanmis olumsuz ve deneyimlerden kaynaklanir. Bu, ileriki ögrenmeleri de engeller.<br /><br />Matematik korkusundan nasil kurtulabilirsiniz?<br /><br />Öncelikle matematiksel geçmisinizi tespit edin Islem kabiliyetiniz yetersiz ise matematigin temel konularini çalismakla ise baslayabilirsiniz. Islem kabiliyeti, matematigin ABC’si gibidir. Nasil ki harfleri bilmeden okuma-yazma ögrenemezseniz; islem yapmayi bilmeden matematigin diger konularini ögrenmeniz mümkün degildir. Eger islem kabiliyetiniz düsük ise ders çalismaya dört islem, rasyonel sayilar ve islemler, köklü ve üslü ifadeler, çarpanlara ayirma, özdesikler konulariyla baslayabilirsiniz. Ilkögretim ögrencileri özellikle dört islem kabiliyetini (toplama, çikarma, bölme, çarpma) çok iyi edinmis olmalidir.<br /><br />Islem kabiliyetiniz iyi, fakat konulari anlamakta güçlük çekiyorsaniz; ders çalisirken konulari kavramaya daha fazla vakit ayirmalisiniz. Özellikle matematigin en güç alani çesitli problem tiplerini birbirinden ayirt edebilmektir. Yani hangi problem nasil çözülür? Bu ayirimi yapabilme seviyesine gelene kadar konu çalismasina devam edin. Birçok matematik kitabinin sonunda konu tekrar problemleri vardir. Her konunun sonundan bir problem seçerek, bu problemler arasindaki farkliliklari not edin. Her problemin çözümü için yapmaniz gereken, ilk basamagi yazin.<br /><br />Mesela; OBEB ile OKEK problemleri arasindaki fark nedir? Yas problemleri ile isçi problemlerini nasil ayirt ederim ve her biri için isleme nasil baslarim gibi. Güçlük çektiginiz konulari asla atlamayin. Onlari iyice ögrenmeden yeni konuya geçmeyin. Örnek problemleri islem basamaklarini iyice kavrayana kadar tekrar tekrar çözün. Bunun vakit alacagini da aklinizdan çikarmayin.<br /><br />Islem kabiliyetiniz iyi, konulari anliyor fakat çok hata yapiyorsaniz; konu çalismasindan çok pratik yapmaya zaman ayirmalisiniz. Bir konuda kendinizden emin olana kadar çok örnek çözün. Problem çözerken yaninizda bir saat bulundurun ve bir müddet sonra gittikçe kisalan sürelerde problemi çözüp çözemediginizi kontrol edin. Konulari küçük parçalara ayirin ve basit örneklerden zor örneklere dogru ilerleyin.<br /><br />Matematik dersinde elde edeceginiz basarilar, geçmis olumsuz deneyimlerinizin izini silecek, gelecek ögrenmeleriniz için yol açacaktir. Bunun için eksiklerinizi bir an önce telafi etmeye baslayin. Basit konulari çok iyi anlayana ve problem çözümünde yeterince otomatiklesinceye kadar soru çözmeye devam edin. Olumsuz iç konusmalara son verin ‘Bunu asla anlayamam, bu problemi çözmem imkansiz, basaramayacagim’ gibi içinizde sürekli tekrarlanan iç konusmalariniza kulak vermeyin. Olumsuz iç konusmalarin insana hiçbir faydasi yoktur. Bu konusmalardan kurtulmak için su yöntemi kullanabilirsiniz: Olumsuz iç konusmalariniz basladigi zaman gözlerinizi kapatin ve konusan sesi bir hoparlör gibi düsünün.<br /><br />Simdi bu sesi (hoparlörü) öne çagirin gelsin. Ne diyor? Bu sese ihtiyaciniz var mi? Size bir faydasi var mi? Eger cevabiniz olumsuz ise o hoparlörün sesini kisin, artik hiçbir sey söyleyemesin. Ya da o sesi kaale almadiginiz biri karsinizda konusuyormus gibi düsünün (mesela bir çizgi film karakteri gibi)<br /><br /><br /><br />Matematik dersine nasil çalisilir?<br /><br />1 Ihtiyaç duydugunuzda ögretmeninizden ya da bilen bir kisiden yardim isteyin. Yapamadiginiz sorularin yanina bir isaret koyun. Ev ödevlerinde yapamadiginiz sorulari atlamayin. En kisa zamanda bu sorularin çözümlerini bilen birinden ögrenin.<br />2 Sadece ögretmeni izleyerek konuyu anlayamayacaginizi unutmayin. Mümkün oldugunca çok örnek çözün.<br />3 Kurallari, formülleri, islem basamaklarini küçük kartlara yazin. Bu kartlardan birini rastgele çekerek kural veya formül hakkinda neler bildiginizi kontrol edin. Bunu arkadaslarinizla ya da aile fertlerinizle bir oyun haline getirebilirsiniz.<br />4 Bir arkadasinizla birlikte çalisin. Arastirmalar, grupla çalisan kisilerin yalniz çalisanlara göre daha iyi performans gösterdiklerini ispatlamistir. Zaman zaman birbirinizin islemlerini kontrol edin.<br />5 Konunun basligini muhakkak yazin. Eve geldiginiz zaman ödev yapmaya baslamadan önce defterinizdeki basligi renkli bir kalemle çizin. Bu sizin ne yaptiginizi görmenize yardimci olacaktir.<br />6 Islem yaparken her basamagin yanina ne yaptiginizi kendi kelimelerinizle tekrar not edin.<br /><br />Niye matematik en korkunç ders?<br /><br />Matematik, endüstrilesmis toplumun hemen hemen her ürününde var. Hiçbir gökdelen, hiçbir cep telefonu veya antibiyotik matematik olmadan gelistirilemezdi. Gündelik yasamda ne kadar çok matematik bilgisi varsa bunlari kullanmak için o kadar az matematik bilgisi gerekiyor. Avrupa genelinde yüz binlerce ögrenci OECD adina uluslararasi bir uzman ekibi tarafindan hazirlanan “Programme for International Student Assessment”in soru formlarini doldurdu. Arastirma daha çok ögrencilerin matematik kabiliyetini ölçmeye dayaniyordu. Türkiye 40 ülke arasinda matematikte 33. sirada, okumada 33. sira ve tabiat bilimlerinde 35. sirada kaldi. Matematik sorulari, ezbere dayanmayan problemlerden olusuyordu. Ögrencilerden formüllerle ugrasmak yerine matematigin dünyada oynadigi rolünü kavrayarak, mantikli bir sekilde uygulamalari istendi.<br /><br />Gündelik yasamdaki sorularin matematik diline çevrilmesi egitimciler tarafindan dilimize asagi yukari ‘matematik okuryazarligi’ olarak çevrilebilecek, “Matematical Literacy” olarak adlandirilmakta. Basarili Pisa ögrencileri her test sorusu için uygun formülü aramak zorunda olmasalar da, soruyu çok iyi anlamak zorundadirlar. Örnegin 1998 ve 1999 yillari arasinda gerçeklestirilen gasp olaylarinin gösterildigi bir grafigi, su soruya göre yorumlamak zorundalar: Gasp olaylarinin arttigi dogru mudur? Ögrencilerin birçogu ‘evet’ diyor.<br /><br />Sonuçta yandaki sütun çok daha yüksektir. Oysa eksenlerin derecelendirilmesine bakan ögrenci gerçekte gasp olaylarinin artmadigini görür. Diger sorular da uygun deneylerle çözülebilmekte. Listenin sonlarinda yer alan Türkiye’de ögrencilerin yaridan fazlasi (yüzde 53) matematikte birinci düzeyin altinda kaldi. OECD ülkeleri ortalamasi için bu oran yüzde 30’un altindadir.<br /><br />Türkiye’yi diger ülkelerden ayiran bir özellik, okul türleri arasindaki farkliliklarin en büyük oldugu ülke olmasidir. Japonyanin özellikle de matematikte hep üst siralarda yer almasi, durmadan çalismayi gerektiren acimasiz bir sisteme baglaniyordu. Tokyo’daki Suginami Ilkögretim Okulu’nda yapilan bir ziyaret ilk basta bu önyargiyi kanitliyor gibi. Matematik dersi matematik sorularinin sinifça toplu halde çözülmesiyle basliyor. Bir ögrenci, örnegin 36 x 8 esittir 288 dediginde, dördüncü sinifin geriye kalan tüm ögrencileri “dogru” diye yanit veriyorlar.<br /><br />Ögretmen Yasuho Arita sirayla herkesi kaldiriyor ve en sonunda tüm ögrenciler ayni sorulari kendi kendilerine çözüyorlar ve Arita ögrencilerin basinda kronometreyle bekliyor. Hesap alistirmalari bittikten sonra Arita’nin “ilginç matematik” dedigi basliyor. Ögretmen tahtaya köseli bir insan çiziyor. Ögrenciler bu figürü yap boz parçalarina benzeyen Tangram taslariyla biçimlendiriyorlar. Ve birdenbire Japonya’daki matematik dersinin sanildigi gibi sadece kati kurallarla islemedigi ortaya çikiyor. Arita, gayet cazip yöntemlerle ögrencileri matematige özendirmekte. Ona göre tek basina mekanik alistirma, zorlu matematik problemlerini çözme hevesini söndürmekten baska hiçbir ise yaramaz. ‘Burada kisisel çaba gerekli.’ diyor Arita...<br /><br />Japon okullarindaki diger önemli bir konu da problemlerin herkes tarafindan tamamen anlasilana dek sinifça o problem üzerinde çalisilmasi. Anlasildigi üzere Japon ögrenciler toplu halde alistirma yapma ve “ilginç matematik”le biçimlenen matematik dersinin yararlarini görüyorlar. Oysa ülkemizde diger derslerde oldugu gibi matematik de büyük ölçüde formüllerin ezberlenmesine dayanir. “Müzik egitimi alan bir ögrenciye yillarca nota ezberletmeye benzeyen bu sistem, sanata, nefret duymaktan baska bir sey vermez.” diyor Enzensberger.<br /><br />Matematik korkutan bir ders olmamali. Ögrencilerin sayilarla ilgili bilmece dünyasina olan meraklarini uyandirmak mümkün. Ve bu, sayilarla çevrili bir dünyada pek de sasirtici olmasa gerek.<br /><br />Der Spiegel</p><p>Kaynak: <a href="http://www.genbilim.com/content/view/1848/37/" target="_blank"><span style="color:#000000;">Genbilim</span></a></p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-74932145619432414492008-05-19T09:19:00.000-07:002008-05-19T09:22:39.794-07:00Matematik Paradoksları<p><strong>Dogru Parçasi Paradoksu</strong>: Önce dogru parçasinin tarifini yapalim: Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor: Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez.</p><p align="left">100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için gerekli olan boyut özelligini saglamiyor) Bu suna benzer ki; sifir ile sifirin toplami yine sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur. </p><p align="left">Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda sonsuz adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu sonsuz olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur. </p><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>2+2=5 ?</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">X = Y ................................................olsun<br />X² = X.Y............................................esitligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.<br />X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.<br />(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.<br />( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.<br />X + X = X..........................................X = Y oldugundan,<br />2.X = X..............................................'X' leri topladik.<br />2 = 1 ................................................'X' ler sadelesti.<br />3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.<br />5 = 4..................................................buradan,<br />5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Cantor Paradoksu:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, asil kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">card(2ª) card(a)................1</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">card(2ª) > card(a)...................2</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Karışım Paradoksu:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor: </span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Kabul edelim ki karisimimiz <span class="mosinfopop" style="CURSOR: help; BORDER-BOTTOM: #000000 1px dotted"></span>homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur. </span><br /><br /><strong>Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:</strong> </p></span><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">a-b=c<br />(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.<br />a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.<br />a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.<br />a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.<br />a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.<br />a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.<br />a=b....................................................(a-b-c) ler sadelesti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Karışık Bir Hesap:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">5 Kalem...............20 TL ise<br />60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">x=(60.20)/5= 240 TL</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda toplam 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda neden 10 TL zarar ettiler?</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">1 kg = 1 ton ¿?</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">1 kg = 1000 gr.............(1)<br />2 kg = 2000 gr.............(2)</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">(1) ve (2) çarpilirsa:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">2 kg = 2.000.000 gr<br />2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)<br />2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,<br />1 kg = 1 ton</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Hempel Paradoksu:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de siyah oldugunu tesbit ederek,<br />b) Siyah olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek. </span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Bilinen su ki çok sayida siyah kuzgun ve yine çok sayida siyah olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir. </span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Arnauld Paradoksu:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Herkes bilir ki;</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.<br />(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:<br />(3 / -3) = (-3 / 3)</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Ayrica;</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.<br />(4 / 3) > 1 gibi</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Yine negatif sayilar için kural ihlâl edilir:<br />(3 / -1) <> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Berber Paradoksu: </strong></span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Klasik paradokslardan biri daha:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?<br />Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima ters düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif"><strong>Russel Paradoksu:</strong></span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:<br />"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim" </span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Russel'in "Kümeler" Paradoksu:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">Russel'a göre iki çesit küme var:</span> </p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.<br />b) Kendisinin elemani olmayan kümeler. </span></p><p align="left"><span style="FONT-FAMILY: Arial,Helvetica,sans-serif">simdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?</span> </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-89959249599541975502008-05-14T09:43:00.001-07:002008-05-14T09:48:17.145-07:00Matematik + Bilim + Gönül = Gerçek İnsan<table style="TABLE-LAYOUT: fixed" cellspacing="0" cellpadding="5" width="100%"><tbody><tr><td valign="top" width="85%" height="100%"><div class="post">"Konuşacak konu çok, hepsi herhalde ilgilendirir sizi. Bildim bileli bir Avrupa Birliği lafıdır gider. Öte yandan ABD'nin en adi takipçisi oldular. ABD ve AB matematik olarak aynı sonuca çıkar. Tarzanca eğitim görürsen Tarzan olursun. İngilizce 2-3 dilin kırmasıdır. Oxford'daki asillik ABD'de "paran kadar konuş" şekline gelmiştir. 1066 yılında Normanlar Fransa'dan İngiltere'ye geçip işgal edince İngilizlerin ilkel yaşamlarıyla karşılaşıyorlar ve onlara hakim oluyorlar. Oxford "öküz kalesi" demektir. Bugüne kadar da üst tabaka hep Normanlar olmuştur asillik devam etmiştir. Halbuki bizde köylü bile başbakan olabilmiştir. Orada demokrasiyi insanları uyutmak için kullanmışlardır hep. Asıl önemli olan bunun bağıntısını "çakozlamak".<br /><br />Sizden şu bağıntıyı kurmanızı istiyorum. 1071 Selçuklulardan önceleri de Türkler Anadolu'ya gelmeye başlamışlardı. İngilizler ilkel yaşarken 200 sene evvel İbn-İ Sina ve benzerleri en ileri tıp, bilim, cebir(Harezmi-Harzemli, Türkistan) bulmuşlardı. Bunları yabancı kitaplarda görebilirsiniz ama bizde öğretmezler, atalarımızı öğrenmeyelim diye. Okuyan ve okumayan, başka ayrım yok, yoksa herkes bizdendir. O zaman bizim tıp kitabı Avrupa'da okutuluyordu. Veba pireden geçer, fare pireyi taşır. Osmanlı'dan hekim istemişlerdi bu hastalığa çare bulmak için. Gidiyor ve onlara yıkanmayı öğretiyorlar bizimkiler.<br /><br />Nostradamus'u Türkiye'de keşfettiler yeni. Katolik papazıdır. O zamanki en büyük devletler Türk devletleri. Nostradamus çıkmış dolaşmış, tıp ve Türk tasavvufunu öğrenmiş, binlerce yıllık. Yazmış ama kehanet olmuş. Selçuklular haçlıları bitirdi. Sonra İngilizler düşman ettiler. Filistin. İngilizler perde yapmış kafalara. O temaslarla kimya (chemistry kimya'dan gelir) vs. öğrendiler.<br /><br />Batılı Türk diyemez. Ne korkuyorsun hala. Batıya insanlığı da biz öğrettik. Bizim bölgelerde katliam yoktur. Bir tane onbaşı, herkes memnundur, idare eder.<br /><br />Osmanlı'dan sonra İttihat ve Terakki sayesinde savaş. Halbuki Osmanlı barışı (pax ottomana) 600 sene sürüyor. Bir de Roma devrinde pax romana 100 sene sürmüş. Octavius bu kadar fütuhat yeter demiş. Batı eskiden de bugün de katliam meraklısıdır. Babamın memleketi Batı Trakya Kavala. Onun zamanında çoğu Türk imiş. Şimdi bir tane Türk yok. Kendi tarihihi bilmezsen batının oyununa alet olursun.<br /><br />İngilizce olarak okumayacaksın "Bosphorus"daki gibi. Ama bunu bildikten sonra hala sessiz kalırsanız herşeye müstehaksınız demektir.<br /><br />AB ve ABD tarzı "Milli Eğitim" ne millidir ne de eğitimdir. Sıfır bile değil, eksilerle ifade etmet gerekli. İkili anlaşmalarla Azmanistan'a teslim edilmiş. 60 tane danışman, bakmadan imza, sonuç bu. Ama tepki bir tek burada yok. Halbuki en önemli ülke hem Asya hem Avrupa'yız.<br /><br />Alp dağları yüksek, yüce demektir. Oralarda Hun türkçesinden kalma köy isimleri var. Biraz kazı hepTürk çıkar. Biz hep oradaydık. Viyana kuşatmasından Kara Mustafa Paşa'dan kalanlar son nesillerde unutmuşlar türkçelerini. Ciddi işler şaka ile daha iyi olur. "Ey Viyanalı kardeşlerim" diye konuşmama başlayınca, gene geldiniz ne kadar kalacaksınız diye sordular. 250.000 Türk var Viyana'da. Her yerde Türkçe yazılar dolu ama burada Türkçe yok.<br /><br />Menderes zamanında 100'er bavul ile Avrupa'ya giderlerdi. Baba hindi hediye etmişler. Şimdi de çuval ama bütün milletin kafasına geçirdiler sadece üç kişiye değil.<br /><br />İngiltere ajan ülke. Blair'i kendi halkı da sevmiyor. Avrupa'da tek kelime ingilizce yok. Kendi ihraç ürünlerinde bile ingilizce yok. Nescafe Miskahve olacak. (Arkasında duran Nescafe afişine bakarak) Bizde ise ihracatta sadece ingilizce kullanıyorlar. Hollandalı Philips batacak. Rekabet edemiyorlar. İngilizler kendileri söylüyor biz artık sadece ingilizce satıyoruz diye (dil olarak) . Avrupa'da adamlara ingilizce söylesen dövecek gibi bakar. Bizimkiler baba Bush'un yanına gitmiş "I speak english" falan diyor adam da .tir oradan gibilerinden hareket yapıyor. Haysiyetli devlet adamı arslanlar gibi Türkçe konuşur ve işi tercümanlık olan birisi de ingilizce'ye çevirir. O zaman herkes saygı ile dinler. Yoksa kuçu kuçu gelmiş derler.<br /><br />Bunlar millete yapılan beyin ameliyatlarının neticesidir. Bir doktora sordum beyinsiz ve ciğersiz bir insan yaşayabilir mi diye. Olmaz dedi. Ama nasıl olur milyonlarcası geziniyor dedim. Ama şimdi milyonlarcası da anlıyor artık durumu. Kimileri İngilizce eğitim yapıyoruz çünkü AB'ye gireceğiz diyorlar. Devlet misyoner okulları açtı. Türk lisesi dememek için Anatolia lisesi dediler. Anatolia Roma'nın eyaletinin ismidir. Türkçe okutulmayan Türk lisesi olur mu? Atatürk T.E.D (Türk Eğitim Derneği) eski adı Türk Maarif Cemiyeti'ni kurdu. İkisi de Türkçe ikisini de kullanabilirisiniz. Örnek okul olarak. Bütün dersler Türkçe ama yabancı dil iyi öğretilirdi. Şimdi öğretim ingilizce olarak yapılıyor, işin kötüsü şimdiki yöneticiler de Atatürk'ün böyle istediği şeklinde açıklamalarda bulunuyorlar. Bu, tarihin tahrifidir. Şerefsizliktir.<br /><br />Nutuk Türkçe, Türkçeye tercüme edilir mi? Bu kadar kısa sürede anlayamaz hale geldik. Eski terimleri de öğrenmeliyiz. .okusa da anlayamaz hale gelmek olmaz. Mezar taşını bile okuyamazsınyoksa. Eskileri de okuyacaksın. Biz divan edebiyatı da tasavvuf edebiyatı da okuyorduk, Türk yazıtlarını da. 100 sene evvele dönelim anlamına değil köprüleri atmayacaksın, oyunun bini bir para batılılarda. Yeni kavramlar üretelim. Ben yeni kavramlar türetme elebaşısıyım.<br /><br />Tarzanca öğrenip Avrupa'ya gidiyorlar ama kimse suratına bakmıyor. Biraz o ülkenin dilini öğrenince birşeyler oluyor. ABD ordusu da 10 sene sonra Ispanyolca konuşuyor olacak. Harpten sonra 50 sene ingilizce tamam, ama şimdi değişiyor. Amerika'da şimdi Çince öğreniyorlar. Tarzanca sınıfında İngiltere'nin neresinde hangi kilise var onu öğretiyorlar. İnsanları tek dil ve tek kültürlü yapmak insanlık suçudur. Çok kültürlülük insanlığın zenginliğidir.<br /><br />YÖK kurulmadı kurduruldu. Araştırmalar yapılıyordu, toplum işlerine de kafa çalışmaya başlamıştı. Rahatsız oldular. YÖK kurduruldu. İşi bitirdiler. Bu durumda araştırma yapana vay alçak ne araştırma yapıyorsun derler. Tarzanca okursanız.. Beyin ameliyatı böyle yapılır bir millete.<br /><br />Erasmus AB'nin programı. .<br /><br />Bunlar 50-60 yıllık ruhbilimsel savaş. Anlarsın ama idrak edeceksin yoksa bu ülke bitiyor. AB'de işsizlik %20'yi geçmiş. Orada çalışamazsın. Asya ile rekabet edemiyor.<br /><br />Bizim halkı kendi haline bıraksan coşar. Bir ara üç ay hükümet yoktu, memleket üç ayda birden kalkındı.<br /><br />Avrupa kanunları deyip bize getiriyorlar Avrupa'da öyle kanun yok, Avrupalının haberi de yok. Avrupa gösterip asıl dünya kraliyetini kurmakta olanlar yaptırıyor. Çaresi palamut idmanı. Öğrenin yabancı dil ama hangisi lazımsa onu öğrenin. Bir kölesi biz kaldık bunların. Belli sayıda Çin uzmanı, Hind, Arap dilini kültürünü bilen uzman yetiştir.<br /><br />İttihat ve Terakki memleketi teslim etti. Almanlar bizi sever dediler. İyi tarafları vardır ama ırkçıdır. Fransa da öyle İngiltere de öyle ama İngiltere belli etmez. İki temel kitapları var bunların ikisi de katliamdan bahseder. Hangi kitaplar olduğunu bulmak da ev ödevi olsun size. AB ve Azmanistan'da işsizlik başlayıp iktisat çökünce ırkçılık başlar orada çünkü ciğeri cebinde, kime inandığı da $'ın üstünde yazıyor. Hazırlıklı olun.<br /><br />Türklerin gittiği bir üniversite. Papaz üniversitesi. Master programı bile yok. Türkler geliyor diye apar topar master programı koyuyorlar.<br /><br />Düzgün insansan , herkesten fazla çalışırsan, Türk olduğunu unutmazsan eşitler arasında dünya kardeşliği olur o zaman - Tasavvuf Uygurlardan geliyor- o zaman birşeyler yaparsın. Şahsiyetsiz olursan hiçbirşey yapamazsın.<br /><br />Matematik + Bilim + Gönül = Gerçek İnsan<br /><br />17 Ekim'de ayarlı basın altın harflerle "giriyoruz" diye yazıyorlar, adamlar belki 20 sene sonra konuşuruz seninle diyorlar. Aynı anda Le Monde'da bir AB yetkilisi 5-10 seneye kalmaz dağılacak diyor. Ayarlı basın şunları da yapın da alacaklar diyor ama onlarda yok. Niye almak istemiyorlar? Müslüman diye mi? -Değil. İngiltere gibi ikinci bir ajan ülke (ABD ajanı) istemiyorlar da ondan almıyorlar. Avrupa'da ne gençlik, ne kaynak, ne ordu var ama hala kafası çalışan insanlar var onun için ayakta duruyor.<br /><br />Hastayı tedavi etmek için 1) Arazlara bakacaksın. Teşhisi koyacaksın ama yetmez. 2) Tedavi edeceksin. Ama koyvermeyeceksin. Ben inanıyorum tedavisi var. Ben hiçbirzaman ümidimi kaybetmem. Bir Atatürk daha çıksa diye düşünürsen şahsi tembelliktir bu. Bir Atatürk daha çıksa ne yapar yahu. Önderler toplumun içinden çıkar. Tabana dayanır. Büyük meseleler küçük küçük adımlarla çözülür. Ümitsizliğe kapılmak huyum değil. Şu odanın doluşu bu milletin şerefli yaşayacağının köle olmayacağının alametidir.<br /><br />Bir konuşmaya çağırdıkları zaman tek şartım var: her çeşit millet olacak. Sağcısı , solcusu, alevisi, başörtülüsü hepsi yanyana. Dışarının ayırma oyunları bunlar, gelenekleri bozarak, eğitimi bozarak, en korkunç harp silahı bunlar. Mart'ın sonunda civarda harp var ama bize bomba yok. Zaten halledilmiş. Kurtuluş savaşı da aynı silahlarla verilecek: kafa, kalem, gönül.<br /><br />Herkes kendine düşeni yapacak, başını belaya da sokmaz. Bu ülke kendine yakışan yerini elbet alacak. Gözlerinizden okuyorum.<br /><br />Sağolun , varolun.<br /><br />Prof.Dr.Oktay Sinanoğlu<br /><br />Not: Levent Genç'in iletisi aynen aktarılmıştır."<br /><br />Kaynak:http://bilim.ficicilar.name.tr/sayfa/matematik_bilim_gonul.html</div></td></tr><tr><td class="smalltext" valign="bottom" width="85%"></td></tr></tbody></table>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-41372935624051034752008-05-14T09:43:00.000-07:002008-05-14T09:46:08.545-07:00Edison Sırrı<span style="color:#000000;">Edison ölüm döşeğinde... Yatağın başındaki en baba profesörler meraktan inim inim inliyomuş. Sonunda biri dayanamayıp ağzındaki baklayı çıkarmış: “Yahu Edison, bak ölüyosun. Tanrı aşkına söyle. Nasıl buldun bu elektriği, ampulu?” Mucit baba zaten son nefesini vermek üzereymiş, “Bu zamana kadar sakladım da n’oldu? Şunlara söyleyim de gider ayak bi hayır olsun” diye düşünmüş.<br />Hafifçe doğrulmuş, “Bakın” demiş, hepsi, o koca koca bilimadamları, Aynştayn, Madam Küri, Pastör mastör pür dikkat kulaklarını dikmiş. Edison son bi gayretle kapıya doğru uzatmış parmağını, “Şu içerki odada bi kasa var. Anahtarı da çalışma masamın ikinci çekmecesinde. Ben öldükten sonra açın bakın, sorunuzun cevabı o kasada gizli.”<br /><br />Neyse, Edison beş dak’ka sonra hakkın rahmetine kavuşmuş. Adamların hepsi bir koşu kasanın başında almışlar soluğu. Kasayı açmışlar ki bir de ne görsünler; kasada Nur Suresi duruyomuş, Nur Suresiii...</span>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-63243575852991180902008-05-01T04:12:00.004-07:002008-05-01T04:21:32.273-07:00Eksiklik TeorisiKurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Gödel'in ifadesiyle: "Her ω-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin bağsız değişken idir)." <p>Daha Türkçe bir anlatımla: </p><p>"Sayı Kuramı nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir." </p><p>Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, Sayı Kuramı nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır. </p><p>Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta) Eubulides Paradoksu, vs... </p><p>En çarpıcı ve yalın olanı Eublides paradoksudur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır. </p><p>Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belirtidir. Euclides (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementler de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu 5. belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdirler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik Geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır. </p><p>Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir. </p><p>Gödel, bu teoremle Hilbert'in Programı 'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, Matematiğin her problemini bir bilgisayar programıyla elde edip çözüme ulaştırabilme inancını taşıyordu. Gödel bunu bu teoremle çürütmüştür. </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-55735402773413022422008-05-01T04:12:00.003-07:002008-05-01T04:20:33.742-07:00Matematiksel Kehanet<p>Nümeroloji, her şeyin sayılara indirgenebileceği dolayısıyla her şeyin sayılarla ifade edilebileceği fikrinden hareket ederek, geleceğe ait kehanetlerde veya kişilerin karakterlerini yorumlamada sayıların kullanılmasıdır. Yunan ve İbrani alfabelerinde her harf bir sayıyı gösteriyordu. Nümerolojide de yazı veya isimlerdeki harflere sayılar yerleştirilir, bunlara bakarak mevcut durum ve geleceğe yönelik kehanetlerde bulunulur. </p><p>Zamanla bu yöntem kutsal kitaplarda da aynı şekilde bir takım gizli mesajlar ve geleceğe ait bilgiler arama çalışmalarına dönüştü. </p><p>Matematik katı ve soyut bir sistematik, bir düzen ifadesi olarak bilinir. Yani iki ile ikinin çarpımı her zaman dörttür. Ancak matematik istenildiğinde insanların kafalarını karıştırmakta da rahatça kullanılabilir. Bir çeşit matematik sihirbazlık yapılabilir. Çok basit iki örnek verelim: </p><p>1946 yılı doğumlu, halen 57 yaşında olan müdürünüz 2001 yılında bu göreve geldi ve 2 senedir görevini sürdürüyor. Bütün bu sayıları toplayalım: 1946+57+2001+2 = 4006.<br />Diyelim ki siz de 1965 doğumlusunuz, yani 38 yaşındasınız, son görevinize 1990 yılında başladınız ve 13 senedir de bu görevi sürdürüyorsunuz. Bu sayıları da toplayalım: 1965+38+1990+13 =4006. Şaşırtıcı değil mi? Sonuçlar, yani karakteriniz ve kaderiniz patronunuzla aynı. </p><p>Aslında kime bu formülü uygulasanız aynı sonucu bulursunuz. Bir insanın doğum yılma yaşını, göreve geldiği yıla görev süresini eklerseniz tabii ki aynı sayıyı, içinde bulunduğunuz yılın iki katını bulursunuz. </p><p>İkinci örnekte bir ekonomik sihirbazlık yapalım. Malum dış borç milyarlarca dolar. Diyelim ki bir dolar, 1.000.000 TL ediyor. </p><p>l dolar = 1.000.000TL (her iki tarafı l milyona bölelim) l dolar/l .000.000 = l.000.000 TL /l.000.000 (sağ tarafı sadeleştirelim) l dolar/l.000.000= 1 TL </p><p>(her iki tarafın karekökünü alalım) (karekök)(l dolar/1.000.000) = (karekök) (l TL) l dolar/1.000= l TL (her iki tarafı l .000 ile çarpalım) l dolar = 1.000 TL </p><p>Eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemleri uyguladığımızdan, matematiksel olarak işlemler sırasında eşitliğin bozulmaması gerekir. 100 milyar dolarlık borcun binde birine inerek artık 100 milyon olduğunu iddia edebiliriz. Hata nerde mi? Onu da borcu veren düşünsün. </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-15684385313998349242008-05-01T04:12:00.002-07:002008-05-01T04:19:40.886-07:00Ölçü BirimleriSuyun debisinin ölçülmesinde kullanılan ölçü birimleri ; Su kaynağının debisinin ölçülmesinde birim olarak “lüle” kullanılmıştır. 1 lüle yaklaşık olarak 26 mm çapında bir borudur ve dakikada 36 litre su akıtır. Günlük yaklaşık 52 m3 su olarak kabul edilir. Şehir içinde yer alan su taksim istasyonlarında bulunan dağıtım sandıklarında kullanılan boruların günlük debisi ise dağıtım yapılan bölgenin ihtiyacına göre ayarlanmıştır ve aşağıdaki gibidir. 1 Hilal 0,5625 lt/Dak. (Günde-0,81 m3)<br />Çuvaldız 1,125 lt/Dak. (Günde-1,62 m3)<br />1 Masura 4,5 lt/Dak. (Günde-6,48 m3)<br />1 Kamış 9 lt/Dak. (Günde-12,96 m3)<br />1 Lüle 36 lt/Dak. (Günde- 51,84 m3 ~ 52 m3)<br /><br />Uzunluk ölçüleri ; <p>Uzunluk ölçü birimi olarak “arşın” kullanılmış olmakla beraber , çarşı arşını ile mimar arşını ( Zira-ı Mimari / Zira ) ve dolayısıyla alt birimleride birbirinden farklıdır.<br />Çarşı ölçüleri<br />1 Arşın 0,6858 mt.<br />1 Rub (urub) 0,0857 mt. (1/8 Arşın)<br />1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 mt. (1/16 Arşın)<br />1 Endaze 0,6525 mt.<br />Mimar ölçüleri<br />1 Arşın (Zira) 0,757738 mt.<br />1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 mt.<br />1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 mt.<br />1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 mt.<br />Çarşı ölçü birimi ve 68,58 cm’e karşılık gelen Arşın ölçü birimi ile yine bir çarşı ölçü birimi olan ve 65,25 cm’e karşılık gelen Endaze ölçüleri birbirlerine çok yakın değerlerdedir. </p><p>Ağırlık ölçüleri ; </p><p>1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg.<br />1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg.<br />1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg.<br />1 Okka/Kıyye (400 Dirhem) 1,282945 kg.<br />1 Dirhem 3,2073625 gr.<br />1 Miskal 4,5819464 gr.<br />7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 gr.<br />1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 gr.<br />1 Kırat (1/4 denk) 0,20046 gr.<br />1 Buğday (1/4 kırat) 0,05011 gr. </p><p>Mehmet İzzet’in 1912 baskısı İlm-i Hisab kitabına göre ise ağırlık ölçüleri farklı tarif edilmektedir. </p><p>Evzan-ı Kebire ( Büyük ağırlık ölçüleri) ;<br />1 Çeki 225,978 kg.<br />1 Kantar 56,450 kg.<br />1 Batman 7,692 kg.<br />1 Kıyye 1,282 kg.<br />Evzan-ı Mutavassıta ( Orta ağırlık ölçüleri) ;<br />1 Dirhem 3,207 gr.<br />1 Miskal 4,810 gr. ( 1,5 Dirhem )<br />1 Denk 0,80175 gr. ( 1/4 Dirhem )<br />Evzan-ı Hafife ( Hafif ağırlık ölçüleri) ;<br />1 Kırat 0,20043 gr. ( 1/4 Denk )<br />1 Bağdadi 0,0501 gr. ( 1/4 Kırat )<br />1 Fitil 0,0125 gr. ( 1/4 Bağdadi )<br />1 Nakir 0,00626 gr. ( 1/2 Fitil )<br />1 Kıtmır 0,00313 gr. ( 1/2 Nakir )<br />1 Zerre 0,00156 gr. ( 1/2 Kıtmır ) </p><p>Alan Ölçüleri ; </p><p>1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600 zirakare )<br />1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 zirakare ) = ( 40 x 40 zira )<br />1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )<br />1 Zirakare= 0,57416 m2</p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-28548407788766829952008-05-01T04:12:00.001-07:002008-05-01T04:18:50.814-07:00Olasılığın TarihiBugünkü anlamıyla istatistik ve olasılığın konusu başlıca; Şans oyunları İnsan hayatı ve ölçümlerine ilişkin biriken kayıtlardan kaynaklanır. Bu kaynakların her ikisi de, gerçekten tanımlanabilir biçimde, onyedinci yüzyılın ortalarından itibaren ortaya çıkar .Klasik olasılık kavramı bu kaynakların ilkinden, deneysel olasılık kavramı ise isatistikler üzerine kurulu ikinci kaynağa bağlı olarak gelişmiştir. 1650 yıllarında kumar fransız toplumunda çok yaygındı. Zar, kart, para atışı, rulet gibi oyunlar oldukça gelişmişti. Paraya olan ihtiyacın artması bazı formüllerle kumar şansının hesaplanacbileceği düşüncesini getirdi.Méré gibi etkili, sözü geçen kumarbazlar Pascal, Fermat ve daha sonra d’Alembert ve De Moivre gibi zamanın önde gelen matematikçilerinin bu konuda yardımcı olabileceğini düşündüler. Matematikçilerin problemi benimsemesiyle klasik olasılık konusu şekillendi. <p><span id="more-230"></span></p><p>Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi. Huygens 1657 yılında konuyla ilgili ilk bilimsel eseri yayınladı. Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı. Olasılıkların çarpılması kuralı başlığıyla bilinen genel teorem de Moivre tarafından 1718 yılında öne sürüldü ve 1733’den 1738’e kadar normal olasılık dağılımı ve merkezi limit teoreminin bir özel durumu yine aynı matematikçi tarafından tartışıldı. Normal dağılışla ilgili daha ileri gelişmeler Gauss tarafından gerçekleştirildi. Aşağı yukarı aynı zamanlarda “En Küçük Kareler” kuralı Legendre tarafından formülleştirildi. Laplace 1812 yılında şans oyunlaryla ilgili matematiksel teorinin tam bir özetini verdi. 1812 yılından hemen sonra ise klasik matematikçilerle olan temas bir bakıma kaybolmuştu. Konuya ilişkin daha sonraki gelişmeler teorik ve uygulamalı alanlarda çalışan istatikçiler tarafından gerçekleştirildi. Gaunt’ın 1662 yılında İngiltere’deki hayat ve ölüm kayıtlarını yayınlaması olasılığın ve deneysel olasılığın bugünkü biçimine dönüşmesinde ilk adım oldu.<br />Birkaç yıl sonra bu kayıtlar ve bunlarla ilgili yorumlar Halley tarafından önemli derecede geliştirildi. Halley’e bazen bu nedenle istatisliğin babası bile dendi.<br />İstatistik 200 yıllık bir zaman süresince çok fazla ilerleme sağlamadan gelişimini surdürdü. 1920 yılında matematikçilerle etkin temas tekrar sağlanarak ve bugun matematikteki gelişmelere bağlı olarak birçok yeni yeni uygulama alanı ile bu ilişki sürmektedir. </p><p>Olasılık teorisinin başlangıcı ifade edildiği gibi şans oyunlarıyla ilgili fiziksel gözlemlerde yatmaktadır. Yansız bir para biriminden bağımsız olarak bir çok kez atıldığında yazıların göreli sıklığının, yani tüm atışlar sonunda gözlenen toplam yazı sayısının toplam atış sayısın oranının ½ sayısına yakın olmasının çok muhtemel olduğu bulunmuştur. Benzer şekilde iyice karıştırılmış 52’lik oyun oyun kağıdı destesinden bir kağıt cekilip, bu kağıdı desteye koyup desteyi tekrar kurarak kağıt çekme işlemi aynı koşullarda birçok kez tekrar edilirse, desteden elde edilen maça sayısının tüm çekiliş sayısına oranının, yani maçaların göreli sıklığının ¼ sayısına yakınsadığı görülür. </p><p>Kart demetinde tek kart seçildiğinde 52 mümkün sonuç vardır. Sonuçlardan herhangi birini diğerinden farklı kılacak bir sebep olmadığından konuyla ilk ilgilenenler uygun sonuçların bütün mümkün sonuçlara oranını, yani 52’lik destede toplam 13 maça olduğundan 13/52 veya 1/4’ü bir maça elde etme olasılığı olarak adlandırılır. </p><p>Olasılığın klasik tanımı olarak bilinen ve bir olayın olasılığının tüm meydana gelişler eşit şanslı olduğunda olayla ilgili sonuçların sayısının tüm mümkün sonuçlara oranı olarak veren tanım kısıtlayıcı ve kısır döngülüdür. Tanım sırasında “eşit şanslı” diye olasılığı tanımlarken olasılık kavramı kullanılmaktadır. Bu nedenle bu düşünceyi olasılık teorisinin temeli olarak alamayız. Bununla beraber olasılık teorisiyle ilk ilgilenenler yine de geçerli ve faydalı sonuçlara ulaşmışlardır. </p><p>Benzer şekilde, olasılığın göreli sıklık tanımı da problem yaratacaktır. Sn n bağımsız denemede bir olayın meydana gelişlerinin sayısı ise, fiziksel olarak Sn/n göreli sıklığın bir limite yakınsayacağı beklenir. Bununla beraber limitin varlığı matematiksel anlamda ileri sürülemez. Yansız bir paranın birbirinden bağımsız birçok kez atılması durumunda Sn/n oranının 1/2 değerine yakınsaması beklendiği halde, paranın daima yazı gelmeside akla uygun bir sonuçtur. Bir başka değişle Sn/n oranın 0 ile 1 arasında bir sayıya yakınsaması ya da Sn/n oranının bir limiti olması da mümkündür. </p><p>Olasılık teorisinin matematiksel olarak gelişirken rastgele deneyin tüm mümkün sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı denen gibi bir küme tanımına ihtiyaç duyulur. Doğal olarak farklı deneyler için da farklı olur. Bir zar atıldığında ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }dır. Bununla beraber aynı deneye bağlı olarak her atışta çift (Ç) veya tek (T) sayı elde edilmesi ile ilgiliysek = {Ç, T}dir. Görüldüğü gibi aynı deney için ilgilendiğimiz sonuçlara bağlı olarak farklı örnek uzayları da tanımlanabilmektedir. </p><p>Genel olarak her deneyin sonucu örnek uzayı da bir tek noktaya karşı gelmelidir. Sonuçları önceden tahmin edilemeyen bir deneyin (rastgele deney) uygulanması ile oluşturulan örnek uzayının her alt kümesi bir olaydır. Bir olayı belirten A kümesindeki her nokta A olayına uygun bir sonucu ifade eder. Buradan hareketle her deneyin sonucu örnek uzaydaki bir noktaya karşı geleceğinden ya kesin olay, örnek uzayının dışındaki bir olaya ise imkansız olay denir.<br />İmkansız olay örnek uzayındaki noktaları içermediğinden boş küme ile belirtilir. ’nın bütün alt kümelerini olay olarak nitelemek her zaman mümkün olmayabilir. ’daki bir noktaya ilişkin sonuçtaki bazı bilgileri atabilir veya ölçemeyebiliriz.O zaman cıkarılan veya eksik olan bu bilgiye bağlı olarak A olayının meydana gelmesi hakkıda karar verilemiyebilir.Örneğin bir para 5 kez atıldığında sadece ilk 3 atıştakı sonuçlar kaydedilmiş olsun .Bu durumda A={en az dört yazı}ölçülemez. Olasılığın kümesel cebirine bağlı olarak geliştirilmesi küme kavramı ve kümeler cebirinin incelenmesine bağlı olduğundan daha sonraya bırakılmıştır. </p><p>Olasılığın genel konusu<br />Matematiksel<br />İstatistiksel verilerin ölçümleri<br />Doğa teorisi<br />Bilginin kendi teorisinin bir karışımıdır. </p><p>Bu nedenle bu konuda bilgisini genişletmek isteyen herkez kaçınılmaz olarak bunların tümünü kapsayacak bir gelişmenin zorunlu olduğun görür. Dolayısı ile olasılık teorisine girişte matematiğin bazı temel konularına değinmek, aksiyomatik yapıyı kurup bunu geliştirmemizde bize yardımcı olcaktır. Bu nedenle ilk olarak küme kavramı bu küme cebiri, kartezyen çarpımlar, fonksiyon kavramı ve kümelerin sayılabilirliği konularına değindikten sonra olasılık kavramı ele alınacak, olasılık uzaylarına kadar olan bir gelişime yer verecektir. </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-29090324385554764552008-05-01T04:12:00.000-07:002008-05-01T04:17:40.633-07:00Geometri Tarihi<a href="http://www.genbilim.com/images/stories/genresim/geometri.jpg"><img style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 320px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" alt="" src="http://www.genbilim.com/images/stories/genresim/geometri.jpg" border="0" /></a><br /><div>Uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalı. Yunanca «ge», yer ve «metron», ölçüden. Geometri Nil kıyılarında doğdu. Bu ırmağın düzenli aralıklarla taşması, tarlaların sınırlarını siliyor, Mısırlıları güç sorunlarla karşı karşıya bırakıyordu: çünkü tarlaların sınırlarını yeniden çizmek, herkese kendi yerini vermek, bunun için de tarlaların yüzölçümünü hesaplamak, nirengiler dikmek, kısacası, geometri yapmak gerekiyordu.<br /><p><br /><br /><br />Doğru Kavramının Anlaşılması İçin </p>insanlara, yer ölçümüne ilişkin somut sorunları ç<a class="mosinfopop" onmouseover="return overlib('Canlı organizmanın, dışarıdan aldığı besin maddelerini parçalayıp yeniden kendine özgü maddelere dönüştürmesi.', CAPTION, 'özümleme',ABOVE,RIGHT, WIDTH, 250, FGCOLOR, '#dfdfdf', BGCOLOR, '#990000', TEXTCOLOR, '#333333', CAPCOLOR, '#ffffff', OFFSETX, 10, OFFSETY, 10);" style="CURSOR: help; BORDER-BOTTOM: #000000 1px dotted" onclick="return overlib('Canlı organizmanın, dışarıdan aldığı besin maddelerini parçalayıp yeniden kendine özgü maddelere dönüştürmesi.', STICKY, CLOSECLICK, CAPTION, 'özümleme',ABOVE,RIGHT, WIDTH, 250, FGCOLOR, '#dfdfdf', BGCOLOR, '#990000', TEXTCOLOR, '#333333', CAPCOLOR, '#ffffff', OFFSETX, 10, OFFSETY, 10);" onmouseout="return nd();" href="javascript:void(0)">özümleme</a> olanağını veren geometriden, giderek soyut bir geometri doğdu. Böylece aynı kavramın değişik durumlara uygulanabileceği anlaşıldı. Sözgelimi, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle çekülün gergin ipi arasında hiç bir maddi ortaklık yoktur; ama ikisi de geometride doğru adı verilen kavramı belirtir; doğru kavramı, ancak bunun gibi somut örneklere bakılarak anlaşılabilecek bir kavramdır.<br /><br />Bir kâğıdın üstüne çizilen düz bir çizgi, doğru hakkında yaklaşık bir fikir verir. Oysa doğru, sınırlı değildir (çizgi ise yaprağın kenarında biter) ve doğrunun kalınlığı yoktur (çizginin ise ne kadar ince çizilmiş olursa olsun, bir kalınlığı vardır). Bunun gibi, bir topa, bir küreye bakılarak küre kavramı hakkında bir fikir sahibi olunabilir.<br /><p>Eukleides’in Aksiyomları ve Teoremleri </p><br /><p>İskenderiyeli bir Yunan bilgini olan Eukleides, M.Ö. III. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. Eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarak, öne sürdüğü sonuçları, kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu. </p><br /><p>Bunun için önce, sezgiye dayanan birtakım kavramlar (nokta, doğru, düzlem) kabul etti (aksiyom), sonra doğru sandığı, ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütün, parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. Bu aksiyom’larla postülat’lara dayanılarak geometri teorem’leri kurulur. </p><br /><p>Kuşkusuz Eukleides, aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdı, ama ona ve çağdaşlarına göre bunlar, tartışma götürmez gerçeklerdi. Sözgelimi, dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyordu, çünkü gerçek hayatta, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle, elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu. </p><br /><p>Eukleides geometrisi, üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometri, bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur. </p><br /><p>Eukleides Dışı Geometriler </p><br /><p>Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi). </p><br /><p>Cebir tekniklerinin geometriye uygulanması, noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri’yi doğurdu (Descartes). </p><br /><p>Rönesans Ressamları ve Tasarı Geometri </p><br /><p>Tasarı geometri’de, uzay geometrinin şekilleri veya öğeleri, tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kâğıt) aktarılır. Rönesans’ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa da, onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometri, kaba perspektif), matematikçi Monge olmuştur. </p><br /><p>İzdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak), resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. Ama asıl yeri, aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisi, matematiğin bir dalıdır. </p><br /><p>Saf (Katıksız) Geometri </p><br /><p>Geometride, her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmakta, başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. Burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. Her şeye rağmen, maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur. </p><br /><p>Yüzölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gökcisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir. </p><br /><p>Bununla birlikte, matematik çalışmaları daha ileriyi, uzak geleceği de göz önünde tutar. Hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. Bu çalışmalar, doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. Saf geometrinin esası budur. </p><br /><p>Thales </p><br /><p>Ünlü bir bilgin ve filozof olan (Yunanistan’ın Yedi Bilge’sinden biridir) Miletoslu Thales (M.Ö. 640-562), düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. Thales, bir yapının yüksekliğini, onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu. </p><br /><p>Pithagoras </p><br /><p>«Birdik üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi Pithagoras bulmuştur. Çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur. </p><br /><p>Monge </p><br /><p>Tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı Gaspard Monge (1746-1818), bütün XIX. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır</p></div>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-82080948812179313962008-04-30T17:20:00.002-07:002008-04-30T17:21:28.782-07:00Matematiksel tanıtMatematikte tanıt (belgit, ispat), ilgilenilen bir önermenin, belirli aksiyomlar esas alınarak, doğru olduğunu gösterme yöntemidir. Matematiksel tanıtta mantık kullanılır ancak genellikle bir ölçüde doğal dilden de yararlanılır ve dolayısıyla bir parça belirsizlik içerir. Gerçektende matematikte yazılan tanıtların büyük çoğunluğu informel mantığın uygulaması olarak kabul edilebilir. Tamamıyla formel tanıtların ele alındığı tanıtlama teorisi bağlamında, bu tip tamamıyle formel olmayan tanıtlamalara "sosyal tanıtlama" denir. Bu ayrım, günümüz ve geçmiş matematiksel uygulamaların, matematikte yarı görgücülüğün ve matematik folklorünün yoğun olarak incelenmesine yol açmıştır. Matematik felsefesi ise dilin ve mantığın tanıtlardaki rölü ve "dil olarak matematik" ile ilgilidir. <p>Kişinin formalizme olan yaklaşımından bağımsız olarak, doğru olduğu tanıtlanan sonuca teoremMatematiğin temelleri adı verilen önermeler tanıtlanamayan ya da tanıtlanması gerekmeyen önermelerdir. Bunlar bir zamanlar matematik felsefecilerinin başlıca uğraşı alanıydı. Günümüzde ilgi odağı daha çok matematiksel uygulamalara, yani kabul edilebilir matematiksel tekniklere kaymıştır. denir. Bu teorem, tamamıyla formel olan bir tanıtta son satırda yer alır ve tanıtın tümü, bu teoremin aksiyomlardan nasıl türetildiğini gösterir. Bir teorem tanıtlandıktan sonra başka önermeleri tanıtlamada kullanılabilir. </p><p><br />Bazı kabul görmüş tanıtlama teknikleri: </p><ul><li>Doğrudan tanıtlama: Sonucun, aksiyomlar, tanımlar ve daha önceki savların mantıksal olarak birleştirilmesiyle elde edildiği yöntem. <li>Tümevarımla tanıtlama: Temel bir durumun tanıtlandığı ve bir tümevarım kuralısonsuz olan) başka durumların tanıtlandığı yöntem. kulanılarak çok sayıda (sıkça <li>Olmayana ergi tanıtı (Reductio ad absurdum olarak da bilinir): Bir özelliğin doğru olması durumunda mantıksal bir çelişkinin doğacağı dolayısıyla özelliğin yanlış olduğunun gösterildiği yöntem. <li>Oluşturarak tanıtlama: İstenen özelliğe sahip somut bir örnek oluşturularak istenen özellikte bir nesnenin var olduğunun gösterildiği yöntem. <li>Tüketerek tanıtlama: Tanıtlanacak önermenin sonlu sayıda duruma bölünerek her birinin ayrı ayrı tanıtlandığı yöntem. </li></ul><p>Olasılıkçı tanıtlama, olasılık teorisi yardımıyla istenen özellikte bir örneğin var olduğunun gösterildiği bir tanıtlama olarak anlaşılmalıdır, yani bir teoremin doğru "olabileceği" şeklinde değil. Bu ikinci türdeki uslamlamalara 'usayatkınlık tanıtı' denebilir; Collatz sanısı örneğinde bunun gerçek bir tanıtlamadan ne kadar uzak olduğu aşikardır. Olasılıkçı tanıtlama -oluşturarak tanıtlama dışında- varlık teoremlerini tanıtlamanın birçok yönteminden biridir. </p><p>Örneğin "f(X)'i sağlayan en az bir X var" önermesini tanıtlamaya çalışıyorsanız, bir varlık ya da oluşturmacı olmayan tanıt f(X)'i sağlayan bir X olduğunu tanıtlar fakat bu X'in nasıl elde edileceğini göstermez. Buna karşın oluşturmacı bir kanıt X'in nasıl elde edildiğini de gösterir. </p><p>Doğru olduğu düşünülen fakat henüz tanıtlanmayan bir önerme sanı (konjektür) olarak bilinir. </p><p>Bazı durumlarda, belirli bir önermenin verili bir aksiyomlar kümesinden tanıtlanamayacağı tanıtlanabilir; bkz. örneğin süreklilik hipotezi. Aksiyom sistemlerinin çoğunda, ne tanıtlanabilen ne de tanıtlanamayan önermeler bulunur (bkz. Gödel'in eksiklik kuramı). </p>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-1598532155062731752008-04-30T17:20:00.001-07:002008-04-30T17:20:53.840-07:00Matematik Nasıl Matematik Oldu ?İki macar soylusu matematik yarışması yapmaya karar verirler. Yarışma kurallarına göre taraflar sırasıyla birer sayı söyleyecekler ve en yüksek sayıyı söyleyen yarışmayı kazanmış sayılacaktır. "Peki" der soylulardan biri "sen başla" . Öteki soylu uzunca bir beyinsel çalışmadan sonra ürününü ortaya koyar "üç !". Sıra birinci soyludadır. Onbeş dakika kadar kendisinden ses çıkmaz. Ama yüz ifadesinden bütün benliği ile düşünmekte olduğu bellidir. Nihayet acı gerçeği teslim etmek zorunda kalır : "sen kazandın".<br /><br />Şimdi çoğunuz bu yazıyı okuduktan sonra garip şeyler düşünebilirsiniz :). "Soylu moylu bir insan bu kadar da ebleh olamaz".Neden ? Çünkü aşağı yukarı 5000 yıldır insanoğlu(soylular dahil) üçten yukarı saymasını biliyor.<br /><br />Bugün insanoğlu yalnızca sayı saymasını bilmiyor. Geometri, cebir biliyor. Sonsuz küçüklerle uğraşıyor ve türev alıyor, tümlev alıyor. Türevsel denklem çözüyor. Olasılık kuramıyla, çizge kuramıyla, topolojiyle uğraşıyor.<br /><br />Matematik dediğimiz bu uçsuz bucaksız bilgi denizini nasıl yarattı insanoğlu ? Bir görüşe göre içinde bulunduğu toplumun "üstünde" yaşayan matematikçilerin eliyle. Buna göre matematikçiler etkinliklerini içinde yaşadıkları toplumdan bağımsız olarak sürdürürler. Ama doğal olarak ortaya konan ürün teknolojiyi etkilediği için matematik toplumsal değişmede etkidi olur. Matematikçiler bu etkinlikleri süresince kendilerine hoş gelen ya da uygun gördükleri kavramlar, soyut varlıkları - biraz da keyfi biçimde- yaratırlar ve bundan sonra herşey mekanik bir mantıksal kıyas yöntemiyle önermeler zinciri halinde büyür, gelişir. Matematikçinin bu somut gerçeklikten uzaklığı, doğal ki onun ortaya işe yarar bir ürün koymasına engel değildir. Hatta çoğu kez bu ürün çok çeşitli uygulama alanları bulur. Böylece matematikçi içinde bulunduğu toplumu etkiler, ama metametik salt matematikçinin ürünüdür. Böylece döner, dolaşır toplumun gelişmesindeki itici gücün toplumdaki deha sahibi bilge kişiler olduğu sonucuna varırız.<br /><br />Bu görüş gerçekliğin üstünkörü bir biçimde yorumlanmasından kaynaklanır. Matematikçiyi toplumdan soyutlayıp fildişi kuleye hapseder ve matematiksel gelişmenin matematikçinin iradesiyle kendiliğinden olduğunu varsayar. Oysa matematikçi ile içinde yaşadığı toplum ayrılmaz bir bütün oluşturur. Bu bütünlüğü gördüğümüz zaman ancak, nasıl olupo da toplumun teknolojik gereksinimlerini karşılayabilmek için matematiğin yavaş yavaş ama emin adımlarla bugünkü durumuna geldiğini anlayabiliriz.<br /><br />Matematik yaşamın nesnel koşulları, onun varlığını gerektirince dünyaya geldi. İlk matematikçi belkide sürüsündeki hayvanları saymaya çabalayan bir çobandı ?<br /><br />Tarımla uğraşan toplumların en ilkeli bile mevsimlerle ilgili sayısal bilgiye gereksinim duyar. Bu ise takvim yapma ile ilgili sorunların çözümünü gerektirir. İlkel toplumların hemen hepsinin takvim tutma, dolayısıyla astronomiyle ilgilendiklerini biliyoruz.<br /><br />Fenikeliler gibi tüccar gemici toplumların ekonomilerinin bir muhasebe sistemine, mirası bölüşme kurallarına, denizcilik sanatına, kısacası aritmetik,geometri, astronomiye olan gereksinimleri tartışma götürmez. Bu gelişme ticarete dayanan her uygarlıkta yer alır. Babil'de ve eski Mısır'da aritmetik ve gometrinin, Hindistan'da da cebirin başlaması işte bu gelişme sonucudur. Eski Mısır'da Nil taşkınlarından sonra toprak sınırlarının yeniden saptanması sorunu da geometrinin Mısır'a özgü itici öğelerinden biriydi.<br /><br />Toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belli bir düzeye eriştikten sonra matematik artık yalnızca uzmanların anladıgığı bir meta haline geldi. Toplumun egemenlerinin bir araya getirdiği ve beslediği bu uzmanlar toplumda bir kast oluşturdular. "Gizli Şeyler"i elinde tutan bu insanlar tekellerindeki bu bilgi birikimi dolayısıyla toplumda büyük güç kazandılar.<br /><br />Şimdi buraya "gizli şeyleri" ellerinde tutan bu insanları yazımın başında sözünü ettiğim "toplumun üstünde yaşayan matematikçi" kavramı ile karıştırmamak gerek. Tam tersine bu kişiler "gizli şeyleri" ile toplumun gereksinme duyduğu işlevleri yerine getirdikleri için güçlüydüler. Örneğin Mısır'da zamanı kahimler ölçerdi. Zaman gündüzleri güneşi, geceleri de yıldızları gözleyerek ölçülürdü. Nil taşkınlarının ne zaman olacağınıda belirlerdi kahinler. Gene "gizli şeyşerin" içinde dairenin, çokgenlerin alanlarının, basit bazı cisimlerin hacimlerinin nasıl bulunacağı da vardı.Örneğin üstü kesik bir pramitin hacmini bulabiliyordu kahinler.<br /><br />Ancak gene de matematiğin bu yalnızca uzmanlarca bilinir olma niteliği sayı ve şekil konusunda belli bir gizemcilik de yaratmadı değil. Özellikle pisagorcu gizemciliğin Yunan bilim ve Felsefesi üzerindeki etkisi dikkati çeker.<br /><br />Yunan toplumu üretimde kölelerin kullanıldığı, bu nedenle de üretimi artırmak için teknolojik gelişmeye pek gereksinme duymayan bir toplumdu. Bu durum toplumun egemenlerinin somut gerçeklikten uzaklaşmalarına yol açmıştı. Bu toplumsal yapı Yunan matematiğine gerçekten özgün bir nitelik kazandırmıştı: Uygulamayı hor görmek. Yunanlıya göre bir ürün uygulanabiliyorsa matematik olmazdı. Olsa olsa zanaat olabilirdi. Bunun sonucu Yunanlu nesnel gerçeklikten kaçar, onu yadsır oldu.<br /><br />Yunan toplumunun bu yapısı Yunanlıların soyutlama ve akıl yürütme de gösterdikleri ilerlemenin nesnel tabanını oluşturur. Aynı zamanda bu yapının Yunanlaıların salt akıl yürütmekle gerçeğe ulaşabilceğine olan inançlarını doğurduğunu söylemek de yanlış olmaz. Bu nedenle yunan toplumu matematiğe modern anlamda kanıtlama tekniği kazandıran ilk toplumdur. Matematiği ilerletmek için yalnızca akıl yürütmeye dayanan Yunanlılar, geliştirdikleri kanıtlama yönemiyle, matematiğin daha sonraki dönemlerdeki gelişmesinde birincil etken olmuşlardır.<br /><br />Yunanlı geometricilerin bu yolla elde ettikleri eşsiz başarı Yunanlıların nesnel gerçeklikten büsbütün uzaklaşmalarına yol açar. Örneğin Pisagorculara göre ,gerçek,güzellik ve iyi bir bütün halinde "sonluda" ve " duranda" aranmalıdır. Bu eğilim yunanlı geometrcilerin akıl yürütmelerindeki durağanlığı ve hareketsizliği açıklar. Örneğin Zeno, çok yaygın bilinen bir örnekte, bir noktadan atılan bir okun, izlediği her noktada duruyor olması gerektiğinden, hiç bir zaman hedefe ulaşamayacağını savunur;yani hareketi yadsır. Hatta öklid bile çemberi, bir noktadan eşit uzaklıkta hareket eden noktanın çizdiği eğri(yer eğrisi) olarak tanımlamaz da, hareket kavramını harekat kavramını gerektirmeyen bir tanım verir. Çember Yunanlıya göre düşünsel bir olarak hep vardır çünkü.<br /><br />Öte yandan Hindistan'da tüccar bir toplum görüyoruz. Bu toplumsal yapının sonucu Hindular ticaret için gerekli aritmetiği ve toprak ölçmek için gerekli olan geometriyi geliştirmişlerdi. Hindular matematiğe Yunanlılardan çok farklı bir biçimde yaklaşıyorlardı : Matematik onlar için yaşamı kolaylaştıran bir araçtan başka bişey değildi. Bu nedenle Hindular matematiğin "teorik" yanı üzerinde pek durmadılar; Kanıtlara göre uzun boylu uğraşmadılar. Sayılara ne taptılar nede sayılardan korktular: İrrasyonel sayı herhangi bir sayı idi onlar için.<br /><br />Ticaret kullanışlı bir sayı sistemi gerektiriyordu. Bugün bildiğimiz sayı sistemini geliştirdiler, sıfır kavramını icad ettiler.Dolayısı ile analiz ve cebiri geliştirdiler. Bu kavramlar daha sonra Araplar aracılığıyla batıya tanıtıldı ve özellikle 13.yy İtalyasında büyük ilgi gördü. Buradan da Avrupa'ya yayıldı.<br /><br />Bu kısa yazıda toplum yapısının matematiği nasıl biçimlendirdiğini anlatmaya çalıştım. Göstermeye çalıştım ki, matematik bir toplumun üretim ilişkilerinin işlevidir. Matematiğin gelişmesinin özellikleri toplumun gelişmesinin özellikleriyle belirlenir.murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-84435776645975643612008-04-30T11:08:00.006-07:002008-04-30T11:14:08.345-07:00Hayatın Matematik Lisanı<strong><em>* Matematikî lisan riyazî düşünce, içinde yaşadığımız kâinatı ve onun işleyişini anlamada neden önemlidir?<br />* Milenyum problemleri nelerdir ve bunlarla ilgili ilim adamlarından ne tür çözümler beklenmektedir?<br />* Günümüz dünyasında metafizik matematik nasıl bir hayati role sahiptir?<br />* İcatlarla, savunma sanayi ve uzay çalışmaları arasındaki münasebet…<br />* Kâinat kitabını okumada matematiğin rolü…<br /><br /></em></strong>Merak ve akıl gibi lâtifelerle donatılan insanoğlu, içinde bulunduğu kâinatın sırlarını keşfetmek adına, büyük teleskoplar inşa ediyor, Güneş Sistemi'ndeki gezegenlere uzay araçları gönderiyor. Artık, bir uzay aracının bir gezegen etrafında dönmesi ve uzaklardaki gök cisimlerinin keşfedilmesi normal karşılanmaya başlandı. Hayatımızı kolaylaştıran duman algılayıcı, tv uydu anteni, barkod, tıbbî tarama cihazı ve göz tarama sistemi gibi birçok âletin, savunma sanayii ve uzay çalışmaları sırasında icat edildiğini biliyor musunuz? Hasta olduğumuzda tıbbî tetkikler için kullanılan röntgen cihazı, manyetik rezonans (MR) ve bilgisayarlı tomografi (BT) gibi birçok aletin de benzer süreçlerle icat edildiğini hiç düşündünüz mü? Bütün bunlar bir yandan modern hayatın, bilim ve teknolojiye ne kadar bağlı hâle geldiğini gösterirken, diğer yandan da kâinattaki eşya ve kanunların insanın emrine musahhar olacak şekilde yaratıldığını göstermektedir.<br /><br />Modern ilmî metodolojinin benimsediği araştırma usûlüne göre matematik; ilmî tespitler için "objektif" bir usûl olmasının yanında, elde edilen neticelerin umumîleştirilmesinde de en objektif vasıtadır. Bilim ve teknolojnin arka plânında Kudret-i Sonsuz'un ilminin bir ifadesi sayılan ve çoğunlukla gözden kaçırılan matematik vardır. Orta Çağ'da Müslüman ilim adamlarının fark ettiği bu riyazî düşünce ve matematiğe ait hususiyetler <strong>Gazzalî</strong>'den <strong>Birûnî</strong>'ye, <strong>Nasiruddin Tûsî'</strong>den <strong>Hucendî</strong>'ye ve <strong>Harizmî'</strong>ye kadar yüzlerce ilim adamının eserinde vurgulanmıştır. İslâm âlimlerinin yolunda yürüyen ve modern bilimin öncülerinden sayılan <strong>Galileo</strong>, 1623'te basılan ikinci kitabı Saggiatore'de şöyle yazmıştı: <em>"Öncelikle kâinattaki geçerli dil öğrenilmedikçe ve sonra da onda yazılı karakterler okunmadıkça kâinat anlaşılamaz. Kâinat, matematik dilinde yazılmıştır ve insan olarak onda yazılan kelimeleri matematik olmaksızın anlamamız imkansızdır." </em>Galileo'nun bu sözü, önemli bir hakikate işaret etmekle birlikte; kâinattaki nizam ve cereyan eden hâdiseler çok kompleks olduğundan, bugüne kadar geliştirilen matematikle son derece girift olan bu mükemmelliği kısmen açıklasak bile, bütün kâinatı ifade edebilen matematik sistem ve formülleri anlamada henüz yetersiz kaldığımız görülmektedir. Bilim tarihine bakıldığında; kâinatın varlık yapısı ve işleyiş özellikleri, matematik kullanılarak kısmen ifade edilebilmiştir. Bu kısmî anlaşılma kâinattaki her şeyin bir matematikî açıklaması olduğunu veya matematikle çelişmediğini gösterirken, varlığın izahında mevcut matematik bilgilerinin yetersiz kalan bir boyutunun olduğunu da göstermektedir. Fizikçiler, maddenin yapısını ve tabiattaki kuvvetleri açıklayan denklemler yazarlar. Sun'î kalb tasarlayan bir mühendis, kanın damarlarda nasıl aktığını ifade eden denklemleri dikkate alır. NASA'daki bir astronom, bir uydunun veya uzay gemisinin yörüngesini ifade eden denklemleri kullanır. Modern dünyada matematiğin bu hayâtî rolü, hayırsever milyoner Landon Clay'ın Milenyum (Bin yıl) Ödül Problemlerini niçin inşâ ettirip, çözümlerini yapacak olanlara yedi milyon dolar vermeyi vaat ettiğinin temel sebeplerinden biridir. Clay Matematik Enstitüsü'nün kurucusu da olan bu hayırsever, matematikteki en önemli ve çözümü şu ana kadar yapılamayan yedi problemin her birini ilk çözen kişiye, bir milyon dolar ödül sözü vermiştir. Ne var ki; pozitivist ve materyalist ilim anlayışı neticesi bütün bütün maddîleşen bugünün insanı, ilim ve tekniğe sadece şahsî hazları, maddî refah ve rahatı açısından alâka duymaktadır. Bu inkârcı düşünce devam ederse; "yeni bakış ve tespitler insanlığın kurtuluşu adına birtakım sihirli reçeteler takdim etseler bile, dünya çapındaki umûmî yozlaşmanın önü alınamayacaktır."<br /><br />Milenyum problemlerinden birkaçı sizden bir denklemin çözülmesini istemesine rağmen, bu teorik problemlerin hiçbirinde bir sayı değeri bulmanız istenmez. Bu yüzden derslerin hayattan kopuk olarak verildiği öğrencilik yıllarımızdaki matematiğin can sıkıcılığı hâlâ hatırımızdadır. Fakat sembollerin ve denklemin ne mânâya geldiği anlaşıldıktan ve sayılar kullanılarak hesap ortaya çıkarıldıktan sonra, matematik zevkli gelmeye başlar. Bu yüzden asıl başarı, doğru denklemin yazılması sürecinde çekilen sıkıntılarda gizlidir. Özel problemleri çözmek için geliştirilen bir denklem, bir uzay aracı inşâ etmek veya kalb-akciğer makinesi tasarlamak gibi özel maksatlar için kullanılarak, icat şeklinde kendini gösterir. <em>"Kur'ân, peygamberlerin mucizelerini zikretmesiyle beşeri, istikbalde o mûcizelerin benzerlerinin terakkî ile vücûda geleceğini beşere ders verip teşvik ediyor ve diyor ki; haydi çalış, bu mucizelerin numûnelerini göster. Süleyman (as) gibi iki aylık yolu bir günde git. İsa (as) gibi en dehşetli hastalığın tedâvisine çalış... İşte buna kıyâsen Kur'ân, her cihetle maddî mânevî terakkiyâta sevk etmek için ders veriyor." </em>Ancak mucizelerin benzerlerinin inşâ edilmesi için, öncelikle bunlara ait doğru matematik denklemlerin yazılması veya önceden yazılmış denklemlerden hangisinin bu özel hazırlanmış probleme uygun olduğunun belirlenmesi gerekmektedir. Çözüm daha sonraki bir iştir; bir denklem tam olarak çözülemiyorsa, bile muhakkak yaklaşık çözüm mevcuttur ve bu tür çözümler çoğunlukla işimizi görmektedir.<br /><br />Milenyum problemlerinden iki tanesinde denklemler fiziktendir. Bunlardan birincisi, akışkanlara ait <strong>Navier-Stokes</strong> denklemlerine genel bir çözüm bulunmasıdır. Bu denklemler ilk olarak 1820'lerde formüle edilmiştir ve bir kayık gövdesi etrafındaki suda, bir uçağın kanadı üzerindeki havada veya kalbden pompalanan kanda olduğu gibi akışkan ve gazların hareketini ifade eder. Navier-Stokes denklemleri, fen ve mühendislik alanındaki üniversite öğrencilerinin denklem türlerine benzer. Fakat bu durumda, görünüş aldatıcıdır. Şimdiye kadar hiç kimse, bu denklemlerin çözüldüğü genel bir formülün nasıl bulunacağına dâir bir ip ucuna sahip değildir. Fakat denklemlerin kendileri, söz konusu problemin anlaşılmasını sağlar. Bu denklemlerin çözüldüğü genel bir formülün olmayışı; gemi mühendislerinin daha iyi gemiler tasarlamasına, uçak mühendislerinin daha iyi uçaklar inşâ etmesine veya tıbbî cihaz yapan mühendislerin sun'î organlar geliştirmesine engel teşkil etmez.<br /><br />Diğer bir milenyum problemi, 1954'te <strong>Chen-ning Yang</strong> ve <strong>Robert Mills</strong> tarafından formüle edilen ve maddenin derinlemesine tabiatını tasvir eden bir denklem kümesine çözüm bulmak işidir. Bu denklemler, bizlerin ve kâinattaki her şeyin yapılmış olduğu ham maddenin zengin bir tarifini verir. Bugüne kadar henüz bu denklemlerden herhangi biri çözülememiştir. Navier-Stokes denklemleri gibi; bilgisayar kullanılıp yaklaşık olarak çözülebilen Yang-Mills denklemlerine dayanarak fizikçiler lâboratuvarda test edilmiş olan hesaplar yapabilmiş ve son derece hassas neticeler elde etmişlerdir. Bir ölçüm sırasında denklemler "doğru" olmak zorundadır. Bu tür denklemler, fizikçilerin ihtiyacı olan hemen hemen bütün bilgiyi sağlamaktadır. Henüz hiç kimse, alışılmış matematik metotlarıyla Yang-Mills denklemlerini çözebilmiş değildir. Asıl olan denklemleri çözmek değil, denklemlerin neyi ifade ettiğini anlamaktır. Sayıları kullanmak ve bu denklemlere dayanarak hesaplama yapmak, önemli olmasına rağmen, ikinci plânda kalmaktadır.<br /><br />Matematik evrensel bir dildir. Bu dili üreten düşünceye de riyazî düşünce denir. Yeryüzü mirasçılarının bir vasfı olan bu düşünce, <strong>M. Fethullah Gülen Hocaefendi'</strong>nin <em>'Ruhumuzun Heykelini Dikerken</em>' isimli eserinde aşağıdaki şekilde özetlenmektedir: <em>"Bir dönemde Asya'daki ilkler daha sonra da Batı, Rönesansını riyazî kanunlarla düşünme sayesinde gerçekleştirdi. İnsanlık, tarihi boyu pek çok belirsiz ve karanlık şeyleri sayıların sırlı dünyasında keşfedip ortaya çıkarmıştır. Hurûfilerin ifratkâr davranışları bir yana, matematik olmayınca ne eşyanın, ne de insanın birbirleriyle münasebetlerini anlamak mümkündür. O, kâinâttan hayata uzanan çizgide bir ışık kaynağı gibi yollarımızı aydınlatır, bize insan ufkunun ötelerini, hatta düşünülmesi taşınılması çok zor imkân âleminin derinliklerini gösterir ve bizi ideallerimizle buluşturur.<br /><br />Ne var ki, riyazî olmak, matematikle alâkalı şeyleri bilmek değildir; matematiği kanunlarıyla düşünmek, insan düşüncesinden varlığın derinliklerine uzayan yolda sürekli onunla beraber olmaktır. Fizikten metafiziğe, maddeden enerjiye, cesetten ruha, hukuktan tasavvufa hep onunla beraber olmak. Evet, varlığı tam kavrayabilmek için hem tasavvufî düşünce, hem ilmî araştırma çifte usûlunü kabul etme mecburiyetindeyiz. Batı temelde kendinde olmayan bir cevherin yerini doldurmada oldukça zorluk çekmiş ve bu ihtiyacı bir ölçüde mistisizme sığınarak karşılamaya çalışmıştı.. her zaman İslâm ruhuyla içli-dışlı olmuş bizim dünyamız için, yabancı herhangi bir şey aramaya veya herhangi bir şeye sığınmaya ihtiyaç yoktur. Bizim bütün güç kaynaklarımız düşünce ve iman sistemimizin içinde vardır; elverir ki o kaynağı ve o rûhu ilk zenginliğiyle kavrayabilelim.. o zaman, varlık içindeki bir kısım sırlı münasebetleri ve bu münasebetlerin ahenkli cereyanını görecek ve her şeyi daha bir değişik temâşâ ve zevk irfânına ulaşacağız." </em><br /><br />Kısaca, matematikî lisan ve riyazî düşünce, içinde yaşadığımız kâinatı ve onun işleyiş prensiplerini anlamak ve tasvir etmek için ihtiyacımız olan bir dildir. Böyle bir vasıta, insanın gözünden perdeyi kaldırıp ona gerçeği gösterdiği ve onu yeni tefekkür ufuklarına doğru yelken açtırdığı ölçüde vazifesini edâ etmiş olacaktır. Kafa ve kalb bütünlüğüne ulaşmış ilim adamları, eşya ve hâdiselerin içine girerek ilmi ve ilmin semerelerini, insanlık yararına kullandıkları sürece bu işin hakkı da verilmiş olacaktır.<br /><br />Doç.Dr. Ufuk İLYASOĞLU<br />Kaynak: <a href="http://www.sizinti.com.tr/konu.sizinti?SIN=9daff9a608&k=998&277195082" target="_blank">Sızıntı Dergisi</a>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-43321798528430501122008-04-30T11:08:00.005-07:002008-04-30T11:12:46.899-07:00Bir Kültür Olarak MatematikDünyada birçok insan matematikle olan dargın ilişkisinden şikayet eder. Birçoğumuz bunu bir eksiklik olarak ifade etmekten hiç çekinmez . Aksine, matematikteki eksikliğini neredeyse övünerek dile getirir. Matematiği gözümüzde öylesine büyütmüşüz ki, böyle bir `ihtişam` karşısında yetersiz kalmak bir özellik olarak algılanıyor. Otoriteye biat etmek sahnesi... Matematiği yalnızca bir araç olarak gören ve toplumsal devinimden bağımsız algılayan bir paradigmada, matematiğin ideolojik boyutunu da gündeme taşımış oluyoruz böylece.<br /><br />Her bilgi dalı gibi matematik de bir kültür olarak yaşamını sürdürür. Son zamanlarda yapılan kazılarda 30000-40000 yıl öncesine varan bulgulara rastlanmaktadır. Çeşitli kemikler ve taşlar üzerindeki işaretlerden daha o zamanlar insanların yaşamlarını ölçüp biçtiğini, hesap kitap yaptığını öğreniyoruz.<br /><br />Gereksinmelerin giderilmesi, yaşamın örgütlenmesi için üzerinde yaşanan topraklar ölçülmüş, bölümlen-miş, hayvanlar sayılmış, gruplara ayrılmıştır. Evreni anlamak yolunda uzay tasavvur edilmiş, evrende görülenler benzetilerek geometrik şekil ve cisimlere vardırılmıştır. Giderek sayı dizgeleri farklılaşmış, çeşitli tabanda sayı sistemleri ortaya çıkmıştır. Bir taraftan insanların merak duyguları, yaratıcı yetileri, diğer yandan ihtiyaçların itici gücü ile matematik yaşamın kaçınılmaz bir parçası olmuştur. Doğa bilimleri büyük bir hızla evrilirken matematiği tetiklemiş, matematik de fiziksel araştırmaların motor gücü olmuştur.<br /><br />Bu sürece sayısız örnek katmak olasıdır. Ancak temel sorun, böylesine insana has bir özelliğin, birçok kişinin başına nasıl dert olup çıktığıdır. Descar-tes `tan başlayan çözümleyici bakış açısı, Newton ve Leibniz ile doğanın devinimini anlamlandırma gayretlerinde doruğa ulaşmıştı. Matematik o güne kadar fizikle bu denli iç içe olmamıştı. Sonlu küçük matematikle fiziksel olguların değişim süreçlerine el atılmış, doğal süreçlerin modellenmesi ile mekanik biliminin temelleri atılmıştı. Bunun anlamı şuydu: Doğa olayları artık tasarlanabilir ve benzetilebilirdi. Böylece, matematik belirli bir dizge çerçevesinde düzenlenmeye başladı. Gelişen sanayi ölçütlerine göre insan yetiştirebilecek okullar ortaya çıkmaya başladı. Bu okullar, günün koşullarına ve gereksinmelerine göre içerik kazandı. Geometri cebirselleşti. Matematiği daha rahat kullanmanın ve buna göre bir öğretim çatısını kurmanın yoğun uğraşı gündeme geldi. Matematiğin bu yeni sistematik yapısı yeni kuşaklara aktarıldı.<br /><br />Kültürel bir olgu olan matematik bu süreçte doğa bilimlerinin evriminde o denli etkili oldu ki, `bilimlerin kralı/kraliçesi ` önermesiyle taçlandırıldı. Matematik bir `zeka ölçütü` olarak öne çıktı. Matematik bir otorite olarak örgütlenince, insan türünün çokluk, uzam , renk gibi doğal zihinsel yetileri şeyleşti. Yalın bir doğallık olan parmakla hesap yapmak gibi edimler aşağılandı. İnsanlar baş tacı edilen bu `matematik anlayışı` süzgecinden geçirilerek sınıflandırıldılar. Herkesin kendine özgü matematiksel nitelikleri , kabul gören ölçütlere karşı yenik düştü. Matematiğe yabancılaşıldı. Böylece, matematik kaygısı toplumsal bir nitelik kazandı.<br />Matematik , bir kültür olarak insani bir üründür, bir eserdir. Tarihsel devinimde bir evrim yaşamıştır ve yaşamaktadır. Hüküm süren kapitalist/tek-nolojist paradigma pozitivist ideoloji kapsamında matematiği tarihsiz kılar. Matematiğin evrenselliğine ilişkin inancı önemli ölçüde pekiştirir. Araçsal-laştırır. Böylece matematik üzerinden bir iktidar kurar. Matematik bir otorite olarak seçkinci bir çizgi izler. Matematik , modern bilimin anahtar girdisidir ve teknolojinin kaçınılmaz bir hammaddesidir. Buna göre, çokluk, uzam , renk, değişim, biçim gibi boyutlar insan zihninin doğal nitelikleriyken şeyleşir, metalaşır ve insana yabancılaşır... Bunun bir uzantısı olan matematik kaygısını incelemeyi sürdüreceğiz.<br /><br />BENO KURYEL (Ege Ü . Müh. F. bkuryel@ttnet .net .tr)murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-71677706394389262062008-04-30T11:08:00.004-07:002008-04-30T11:11:46.013-07:00Taşlardaki GeometriMineraller, belli kimyevi terkibi ve muntazam atomik yapısı olan homojen ve ekseriyetle katı cisimlerdir. Canlı organizmadaki hücre gibi, tabiatta mineral, en küçük yapıyı meydana getirir. Mineraller yan yana gelerek kayaları, kayalar dağlan, dağlar da kıtaları teşkil ederler. Tabiatta 2000 çeşit mineral bilinmektedir. Ancak bunlardan çok azı kayaç yapısında bulunmakta (12–15), bir kısmı maden yataklarını meydana getirirken, büyük kısmı arz kabuğunda ve manto İçinde dağılmış durumdadır.<br />Mineraller, bazan yalnız bir metalden meydana gelmiş olabilirler. Altın (Au), bakır (Cu), arsenik (As) gibi. Fakat bunların büyük bir kısmı basit gördüğümüz elementlerin birleşmesiyle ortaya çıkarlar. Kuvars (SiO2), kayatuzu (NaCl), pirit (FeS2) gibi.<br /><br />Endüstride kullanılan ve ekonomik değere haiz olan minerallere cevher mineralleri denir. Krom cevheri, kalay cevheri gibi.<br /><br />Minerallerden civa ve su gibi bir kaçı sıvı halde, silis camı ve opal gibi bazıları amorf (şekilsiz), büyük çoğunluğu ise kristal şeklindedir.<br /><br />Kristaller, düzgün satıhlarla çevrilmiş geometrik şekillere ve muntazam peryodik olarak sıralanmış düzenli atomik yapılara (strüktürlere) sahiptirler. Asıl hususiyetleri, intizamlı bir iç yapı göstermeleridir.<br /><br />Her kristal gibi Kuvars kristali de bazen çok güç, bazen de bir insan büyüklüğünde 300–400 kg. ağırlığında olabilir. Kristallerin bu şekilde açıları değişmeksizin büyüyüp küçülmesi oldukça düşündürücü bir husustur. Gerek makro gerek mikro ve gerekse de normo âlem dikkatle incelendiğinde bir kudret ve hikmet elinin Her kristal gibi Kuvars kristali de bazen çok güç, bazen de bir insan büyüklüğünde 300–400 kg. ağırlığında olabilir. Kristallerin bu şekilde açıları değişmeksizin büyüyüp küçülmesi oldukça düşündürücü bir husustur. varlığı hemen anlaşılmaktadır. Taş misâli cansız ve basit gibi görünen daha nice varlık “detaylı” olarak incelendiğinde bu Yüce Elin, varlıkları belli ölçülerle bir gergef gibi işlediği güzler önüne serilmektedir. Alelâde çizimi bile teknik ressamları günlerce uğraştıran atomik yapısıyla akıllara durgunluk veren bu muazzam şekiller, bir tesadüf mahsulü olmadıklarını düşünen kafalara haykırmaktadırlar.<br /><br />Kristallerin dış, şekillerini meydana getiren satıhlar, rastgele yanyana dizilmiş şeyler değillerdir. Bunların sıralanışı, birbirleriyle olan, münasebetleri ve kristal eksenleri ile olan bağlantıları, mineralin atomik yapısına uygun bir şekilde, belirli prensip ve kanunlara göre gerçekleşir. Bunlardan birisi “Açıların Sabitliği Kanunu” dur. Kristallerde yüzler arasındaki açılar daima sabittir. Bir kristalin belirli bir büyüklüğü yoktur. Çünkü soğuma hâdisesi ne kadar yavaş olursa kristaller de o nisbette büyük olur. Meselâ kuvars kristali, bazan çok küçük olabileceği gibi, bazan da Tirol, Sen Gotar ve Madagaskar’da bulunan misâller gibi bir insan büyüklüğünde ve 300–400 kg ağırlığında olabilir. Kristallerin bu şekilde büyümeleri, yavaş soğuma neticesi olarak satıhların üzerine kristali teşkil eden maddeden, paralel birçok tabakanın ilâvesinden ileri gelir. Bu durum bir duvarcının tuğlalarla duvar inşa etmesine benzetilebilir. Binaenaleyh, aynı mineralin kristalleri arasında, büyüklük ve görünüş bakımından fark bulunabildiği halde, satıhların meydana getirdiği açılar tamamen birbirinin aynısıdır. Bu Çin’de de aynıdır. Ay’da da aynıdır. Afrika’da da aynıdır.<br />İlk defa 1783 senesinde Rome de Lisle tarafından ortaya atılan bu kanun asırlarca önce, herşeyin bir mizanla meydana getirildiğini, bütün varlıkların hesaplı olarak yaratıldığını beyan eden büyük Kâinat Kitabı’nda ortaya konulmuştu (Rahman/7). Bir kristal sathının, kristal içindeki durumu, onun kristal desenleriyle olan bağlantısı ile belirlenir. Eksenleri kesen bir sathın onlar üzerinde ayırmış olduğu birim uzunluklara parametre ve bunlar arasındaki nisbete de “Parametre nisbeti” denir. Bu nisbet herbir kristal için sabittir. Bu da kristalin en esaslı hususiyetlerindendir. Gâyesiz ve plânsız yaratılan hiç bir canlı olmadığı gibi, cansız bir mineralin dahi ölçüsüz olmadığını, yaratıkların sahibini görmeyip onların var oluşunu tesadüflere vermenin ne kadar ilim dışı bir anlayış olduğunu, ilmi tesbitler açık bir şekilde İnsanlığın gözleri önüne sermektedir. (ALINTI)murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-19432154736740425142008-04-30T11:08:00.003-07:002008-04-30T11:11:09.335-07:00Matematiğin Temel İlkeleriHer kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi, her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime, başka kelimelerle tanımlanır, bu sonuncular da, daha başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için, sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki, bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi; matematikte, bir teorem, başka teoremlerle, o teoremler de başkalarıyla İspat edilir. Her şeyi ispat için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitme lazım geldiğinden, ister istemez bir yerde durmak icap ediyor. Şu halde, nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilmeyen şeyler de vardır. İspat edilemeyen bu şeylere, matematikte prensipler adı verilir. Gerçi, prensipler ispat edilemezler, fakat her şey bunlara dayanarak ispat edilir. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin sebebi budur.<br /><br />Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren Eski Yunan (Grek) matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek lazım geldiğinin farkına varmışlardır. Bunlardan Öklid, Elementler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da, <> adını vermiştir. Zamanla, bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin, 19. yüzyıla kadar, matematikçiler, Öklid'in ispatsız kabul ettiği ve Öklid Postülatı denilen <> şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız birtakım hükümler, yeni yeni prensipler kabul edilmiştir.<br /><br />Eskiden beri, matematikçiler tarafından, matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır. Bunlar:<br /><br />A) Tanımlar<br />B) Aksiyonlar<br />C) Postülatlar<br /><br /><br />Bu üç temel prensibe ait ilginç örnekler ve geniş bilgileri, herhangi tir matematik kitabında görmek mümkündür.<br />alıntımurathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-27297509046617012392008-04-30T11:08:00.002-07:002008-04-30T11:10:39.251-07:00Matematiksel SonsuzlukÖncelikle fiziksel dünyada sonsuz diye bir şey yoktur. Eğer bir aritmetik işlem sonucunda sonsuz elde ediyorsanız, o işlemin bir aşamasında gerçek dünyada olmayan bir varsayımı işin içine girmiş demektir (ya da bir yerlerde hata yapılmıştır). Matematikçiler bu tip durumlarda varsayımların dikkatli bir şekilde tanımlandığı “limit” hesabını geliştirmiş. Sonsuz eksi sonsuz tipi ifadeler de bu türden: Her iki sonsuzun nasıl elde edildiği incelenmeli, işlem daha dikkatli bir şekilde yapılarak sonuç bulunmalı. Çıkan sonuç da herhangi bir sayı, hatta sonsuz bile olabilir.<br /><br />Sonsuz kavramı, matematikte değişik yerlerde değişik anlamlarda kullanılıyor. Ama, aritmetikte sonsuzu diğer sayıların arasına uyumlu bir şekilde katmanın imkanı yok. Burada uyumluluktan kastım dört işlemin doğal gördüğümüz temel özelliklerinin sağlanması. Örneğin, (a+b)+c=a+(b+c) gibi, ya da a+b=c ise a=c-b gibi. Sonsuzu bu dört işleme sokmaya çalıştığımız zaman bu özelliklerden bazıları sağlanmıyor. Eğer sonsuz+1=sonsuz ediyor ve aynı zamanda sonsuz+2=sonsuz ediyorsa, sonsuz-sonsuz hem 1 hem de 2’ye, hem de dediğin gibi 0’a eşit olmalı. Bu da oldukça anlamsız bir şey: Her aritmetik işlemin tek bir sonucu vardır. Bu nedenle, sonsuz’u dört işleme girebilen bir sayı olmaktan çok, bir büyüklük fikrini anlatan bir kavram olarak düşünmek daha doğru olur.murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-50912418905070593572008-04-30T11:08:00.001-07:002008-04-30T11:09:49.966-07:00Günlük Hayatta MatematikMatematik günlük hayatta ne ise yarar!?<br />ÖSS’de her yıl 5-10 bin öğrencinin matematikten sıfır ve altında puan almasının sebeplerini, 70 ilde 17 bin 500 öğrenci üzerinde yapılan dev anket çalışması ortaya koydu.<br /><br />ÖSS’de her yıl 5-10 bin öğrencinin matematikten sıfır ve altında puan almasının sebeplerini, 70 ilde 17 bin 500 öğrenci üzerinde yapılan dev anket çalışması ortaya koydu. Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Yard. Doç. Dr. Şevket Civelek’in yaptığı araştırmada, başarısızlığın altındaki sebepler şöyle sıralanıyor: Matematik korkusu, öğretmenlerin dersi sevdirememesi, dilinin anlaşılmaz olması, matematiğin günlük hayatta işe yaramayacağı ve sıkıcı olduğu inancı.<br /><br />Anket için 70 ilde 250’şer düz, meslek, Anadolu, fen lisesi ve özel lise öğrencilerinden oluşan toplam 17 bin 500 öğrenciye matematik öğretimi hakkında 30 soru yöneltildi. Öğrencilerin yüzde 16’sı öğretmen-öğrenci diyaloğunun yetersizliği, yüzde 16’sı matematikten nefret etmesi, yüzde 16’sı not korkusu, yüzde 13’ü müfredatın uzun ve sıkıcı olması, yüzde 13’ü gereksiz görmesi, yüzde 11’i dersin temel felsefesinin verilmemesi ve öğretmenin sevdirememesi, yüzde 6’sı ise aileden yardım görmemesi yüzünden matematikte başarısız olunduğunu bildirdi. Ayrıca öğrencilerin yüzde 56’sı matematiğin günlük hayatta nasıl kullanılacağının anlatılmadığını, yüzde 23’ü derste kullanılan dilin anlaşılmaz olduğunu, yüzde 37’si ise matematiği öğrenirken sıkıldığını ifade etti.<br /><br />Anket sonuçlarını değerlendiren Yard. Doç. Dr. Civelek, “Oldukça düşündürücü sonuçlar elde ettik. 15-16 yıl süren bu zaman diliminde, matematiksel düşünme yeteneğinin gelişmediğini tespit ettik.” dedi. Öğrencilerin ezberleyen, bilgiyi kullanamayan, yorum yapamayan, matematiksel ve mantıksal düşünmeyi beceremeyen insanlar olarak yetiştirildiğini söyleyen Civelek, bu yüzden bireyleri matematik korkusunun sardığını, kendilerine olan güvenlerini kaybettiğini belirtti. Civelek, bunun okulöncesi eğitimden itibaren üzerinde durulması gereken bir konu olduğunu kaydetti.<br /><br />Civelek’in araştırmasına göre matematiğin korkulması gereken bir şey olduğu fikri, okulun ilk yıllarında başlıyor. Öğretmenler ve diğer insanlar, öğrencilere matematiğin zor ve çekinilmesi gereken bir ders olduğunu söylüyor. Öğretmen ile öğrenci arasındaki kopukluk da korkunun en önemli sebeplerinden birini oluşturuyor. Ayrıca toplumda matematik sadece çok zekilerin başarabileceği bir şey olarak lanse ediliyor. Öğrencilerin sınavlarda zaman baskısı altında problem çözmeye, matematiksel sonuç çıkarmaya zorlanması da başarısızlığa yol açıyor. Bunların sonucunda öğrenci kendini başarısız görüyor veya bu konuda yeteneğinin olmadığına inanmaya başlıyor<br />Dünya ikincisi: Bu dersi ancak öğretmen sevdirebilir<br />Uluslararası Matematik Proje Yarışması’nda ‘Tam Kare Toplamı’ adlı projesiyle dünya ikincisi olan Özel Servergazi Fen Lisesi 2. sınıf öğrencisi Bekir Danış, matematikte başarılı olmasının sebebini öğretmeninin matematiği sevdirmesine bağlayarak araştırmayı doğruluyor. 6. sınıfta öğretmeninin eğlenceli matematik sorularıyla matematiği sevdirdiğini söyleyen Danış, bu sayede dersten zevk almaya başladığını anlatıyor. Öğretmen iyi değilse öğrencinin matematikten soğuduğunu ifade eden Danış, “Dersten soğuyan öğrenci ise lise boyunca matematikten nefret ediyor.” diyor.<br /><br />Esprili anlatım öğrencinin sıkılmasını önler Yard. Doç. Dr. Şevket Civelek, öğrencilerdeki matematik korkusunun yenilmesi için şunları tavsiye ediyor: Konu karmaşık hale getirilmeden öğrenciye sunulmalı. Öğretmen konuyu işlerken çok rahat olmalı, konuyu iyi bilmeli. Öğretmen, öğrenciler arasında aşırı rekabete mani olmalı. Öğrencilere küçük gruplar halinde çalışmaları için imkan sağlamalı. Eğitimci yavaş öğrenenlere daha fazla şans tanımalı. Öğrencinin hızını ölçen testlerden kaçınılmalı. Öğrencinin gayreti ödüllendirilmeli. Öğretmen, sadece cevabın sonucuna değil, çözümün nasıl yapıldığına da bakmalı. Öğrenci asla azarlanmamalı. Öğretmen dersi monoton bir şekilde anlatmamalı. Belli aralıklarda espriye de yer vererek öğrencinin sıkılmamasına zemin hazırlamalı.<br /><br />Matematik bir ceza unsuru olarak asla kullanılmamalı. ‘50 tane alıştırma yap’ ve ‘sizin hepinize sınavda zor sorular sorayım da görün gününüzü’ tipinden cezalar ve tehditlerden uzak durulmalı. Öğrenciye, matematiği nasıl anlaması ve çalışması gerektiği öğretilmeli. Matematiğin bir roman gibi okumakla öğrenilemeyeceği, öğrencinin yazarak ve düşünerek çalışması tavsiye edilmeli. Konu üzerinde kendince bir yorum getirmesi önerilmeli. Öğretmen, konuyu anlatırken günlük olaylarla bağlantı kurmalı; matematiğin kullanılabileceği alanları öğrencilerle tartışmalı. Öğrencinin zorlanacağı noktaları açıklıkla ifade etmeli. Öğrencinin kafasında soru kalmamasına özen göstermeli.murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-40720390913664219672008-04-30T11:08:00.000-07:002008-04-30T11:09:19.981-07:00Gauss MetoduCarl Friedrich Gauss çok ünlü bir matematikçidir.1777-1885 yılları arasında Arşimet ve Newton ile mukayese edilecek ölçüde bilime katkıda bulunmuştur.Gauss modern matematiğin kurucusu olarak görülür.Astronomi ve fizikte de buluşlar gerçekleşmiştir.Hayatta olduğu sürece tam 155 adet eser yayınlanmıştır.<br /><br />Rivayetlere göre zihninden çok hızlı bir hesap yapardı.Bundan dolayı matematik öğretmeninin ilgisini çekmişti.Gauss genellikle bütün buluşlarını 14 ve 17 yaşları arasında gerçekleştirmiştir.1972 yıllarında Euclid dışı geometriyle ilgilenmiştir.1974 yılında Newton’un “Principa” adlı eserini okuyarak küçük kareler metodunu bulmuştur.<br /><br />1970-1975 yılları arasında Göttingen Üniversitesi’nde okumuştur.1801 yılında “Aritmetik Münakaşaları” adlı eserini yayınlamıştır.Ayrıca 17 kenarlı çokgenin pergel ve cetvel il çizilebileceğini göstermiştir.<br /><br />1807 yılında Göttingen Üniversitesi Rasathanesi’ne direktör ve matematik profesörü olarak tayin edilmiştir.1812 yılında hipergeometrik serileri inceleyen ilk önemli eserini neşretmiştir.1818 yılında yer ölçmesiyle uğraşmaya başlamıştır.<br /><br />1831 yılından sonra Wilhelm Weber ile elektrik ve magnetizma üzerine çalışmış ve beraberce 1833 yılında elektronik magnetik telgrafı gerçekleştirmişlerdir.<br /><br />Ayrıca din ve felsefe üzerine kafa yormuş ancak bu konuda hiçbir eser yayınlamamıştır.Ölümünden sonra şahsi ve ilmi yazıları bulunmuştur.Kütüphanesinde tam 11424 adet eser mevcuttur.<br /><br />Fakat bütün bu çalışmaları, ona, gerçek ilim adamlarının bulunacakları ve inanacakları yolu gösterememiştirmurathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-20789422942518918722008-04-30T07:04:00.008-07:002008-04-30T07:28:07.057-07:00MathematicsMathematics (colloquially, maths, or math), is the body of knowledge centered on concepts such as quantity, structure, space, and change, and also the academic discipline that studies them. Benjamin Peirce called it "the science that draws necessary conclusions".[2] Lynn Steen[3] and Keith Devlin[4] maintain that mathematics is the science of pattern, that mathematicians seek out patterns whether found in numbers, space, science, computers, imaginary abstractions, or elsewhere.<br /><br />Through the use of abstraction and logical reasoning, mathematics evolved from counting, calculation, measurement, and the systematic study of the shapes and motions of physical objects. Mathematicians explore such concepts, aiming to formulate new conjectures and establish their truth by rigorous deduction from appropriately chosen axioms and definitions.[5]<br /><br />Knowledge and use of basic mathematics have always been an inherent and integral part of individual and group life. Refinements of the basic ideas are visible in mathematical texts originating in ancient Egypt, Mesopotamia, ancient India, ancient China, and ancient Greece. Rigorous arguments first appear in Euclid's Elements. The development continued in fitful bursts until the Renaissance period of the 16th century, when mathematical innovations interacted with new scientific discoveries, leading to an acceleration in research that continues to the present day.[6]<br /><br />Today, mathematics is used throughout the world in many fields, including science, engineering, medicine, economics, and the social sciences. Applied mathematics, the application of mathematics to such fields, inspires and makes use of new mathematical discoveries and sometimes leads to the development of entirely new disciplines. Mathematicians also engage in pure mathematics, or mathematics for its own sake, without having any application in mind, although applications for what began as pure mathematics are often discovered later.[7]<br /><br />Contents [hide]<br />1 Etymology<br />2 History<br />3 Inspiration, pure and applied mathematics, and aesthetics<br />4 Notation, language, and rigor<br />5 Mathematics as science<br />6 Fields of mathematics<br />6.1 Quantity<br />6.2 Structure<br />6.3 Space<br />6.4 Change<br />6.5 Foundations and philosophy<br />6.6 Discrete mathematics<br />6.7 Applied mathematics<br />7 Common misconceptions<br />7.1 Relationship between mathematics and physical reality<br />8 See also<br />9 Notes<br />10 References<br />11 External links<br /><br /><br /><br /><strong>Etymology</strong><br /><br />The word "mathematics" (Greek: μαθηματικά or mathēmatiká) comes from the Greek μάθημα (máthēma), which means learning, study, science, and additionally came to have the narrower and more technical meaning "mathematical study", even in Classical times. Its adjective is μαθηματικός (mathēmatikós), related to learning, or studious, which likewise further came to mean mathematical. In particular, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), in Latin ars mathematica, meant the mathematical art.<br /><br />The apparent plural form in English, like the French plural form les mathématiques (and the less commonly used singular derivative la mathématique), goes back to the Latin neuter plural mathematica (Cicero), based on the Greek plural τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), used by Aristotle, and meaning roughly "all things mathematical".[8] In English, however, mathematics is a singular noun, often shortened to math in English speaking North America and maths elsewhere.<br /><br /><br /><strong>History</strong><br /><br />A quipu, a counting device used by the Inca.Main article: History of mathematics<br />The evolution of mathematics might be seen as an ever-increasing series of abstractions, or alternatively an expansion of subject matter. The first abstraction was probably that of numbers. The realization that two apples and two oranges have something in common was a breakthrough in human thought. In addition to recognizing how to count physical objects, prehistoric peoples also recognized how to count abstract quantities, like time — days, seasons, years. Arithmetic (addition, subtraction, multiplication and division), naturally followed. Monolithic monuments testify to knowledge of geometry.<br /><br />Further steps need writing or some other system for recording numbers such as tallies or the knotted strings called quipu used by the Inca empire to store numerical data. Numeral systems have been many and diverse.<br /><br />From the beginnings of recorded history, the major disciplines within mathematics arose out of the need to do calculations relating to taxation and commerce, to understand the relationships among numbers, to measure land, and to predict astronomical events. These needs can be roughly related to the broad subdivision of mathematics, into the studies of quantity, structure, space, and change.<br /><br />Mathematics has since been greatly extended, and there has been a fruitful interaction between mathematics and science, to the benefit of both. Mathematical discoveries have been made throughout history and continue to be made today. According to Mikhail B. Sevryuk, in the January 2006 issue of the Bulletin of the American Mathematical Society, "The number of papers and books included in the Mathematical Reviews database since 1940 (the first year of operation of MR) is now more than 1.9 million, and more than 75 thousand items are added to the database each year. The overwhelming majority of works in this ocean contain new mathematical theorems and their proofs."[9]<br /><br /><br /><strong>Inspiration, pure and applied mathematics, and aesthetics</strong><br /><br />Mathematics arises wherever there are difficult problems that involve quantity, structure, space, or change. At first these were found in commerce, land measurement and later astronomy; nowadays, all sciences suggest problems studied by mathematicians, and many problems arise within mathematics itself. Newton was one of the infinitesimal calculus inventors, Feynman invented the Feynman path integral using a combination of reasoning and physical insight, and today's string theory also inspires new mathematics. Some mathematics is only relevant in the area that inspired it, and is applied to solve further problems in that area. But often mathematics inspired by one area proves useful in many areas, and joins the general stock of mathematical concepts. The remarkable fact that even the "purest" mathematics often turns out to have practical applications is what Eugene Wigner has called "the unreasonable effectiveness of mathematics."<br /><br />As in most areas of study, the explosion of knowledge in the scientific age has led to specialization in mathematics. One major distinction is between pure mathematics and applied mathematics. Several areas of applied mathematics have merged with related traditions outside of mathematics and become disciplines in their own right, including statistics, operations research, and computer science.<br /><br />Many mathematicians talk about the elegance of mathematics, its intrinsic aesthetics and inner beauty. Simplicity and generality are valued. There is beauty also in a clever proof, such as Euclid's proof that there are infinitely many prime numbers, and in a numerical method that speeds calculation, such as the fast Fourier transform. G. H. Hardy in A Mathematician's Apology expressed the belief that these aesthetic considerations are, in themselves, sufficient to justify the study of pure mathematics.<br /><br /><br /><strong>Notation, language, and rigor</strong><br /><br />Most of the mathematical notation in use today was not invented until the 16th century.[10] Before that, mathematics was written out in words, a painstaking process that limited mathematical discovery. Modern notation makes mathematics much easier for the professional, but beginners often find it daunting. It is extremely compressed: a few symbols contain a great deal of information. Like musical notation, modern mathematical notation has a strict syntax and encodes information that would be difficult to write in any other way.<br /><br />Mathematical language also is hard for beginners. Words such as or and only have more precise meanings than in everyday speech. Also confusing to beginners, words such as open and field have been given specialized mathematical meanings. Mathematical jargon includes technical terms such as homeomorphism and integrable. It was said that Henri Poincaré was only elected to the Académie française so that he could tell them how to define automorphe in their dictionary.[citation needed] But there is a reason for special notation and technical jargon: mathematics requires more precision than everyday speech. Mathematicians refer to this precision of language and logic as "rigor".<br /><br />Rigor is fundamentally a matter of mathematical proof. Mathematicians want their theorems to follow from axioms by means of systematic reasoning. This is to avoid mistaken "theorems", based on fallible intuitions, of which many instances have occurred in the history of the subject.[11] The level of rigor expected in mathematics has varied over time: the Greeks expected detailed arguments, but at the time of Isaac Newton the methods employed were less rigorous. Problems inherent in the definitions used by Newton would lead to a resurgence of careful analysis and formal proof in the 19th century. Today, mathematicians continue to argue among themselves about computer-assisted proofs. Since large computations are hard to verify, such proofs may not be sufficiently rigorous.<br /><br />Axioms in traditional thought were "self-evident truths", but that conception is problematic. At a formal level, an axiom is just a string of symbols, which has an intrinsic meaning only in the context of all derivable formulas of an axiomatic system. It was the goal of Hilbert's program to put all of mathematics on a firm axiomatic basis, but according to Gödel's incompleteness theorem every (sufficiently powerful) axiomatic system has undecidable formulas; and so a final axiomatization of mathematics is impossible. Nonetheless mathematics is often imagined to be (as far as its formal content) nothing but set theory in some axiomatization, in the sense that every mathematical statement or proof could be cast into formulas within set theory.<br /><br /><br /><strong>Mathematics as science</strong><br /><br />Carl Friedrich Gauss referred to mathematics as "the Queen of the Sciences".[12] In the original Latin Regina Scientiarum, as well as in German Königin der Wissenschaften, the word corresponding to science means (field of) knowledge. Indeed, this is also the original meaning in English, and there is no doubt that mathematics is in this sense a science. The specialization restricting the meaning to natural science is of later date. If one considers science to be strictly about the physical world, then mathematics, or at least pure mathematics, is not a science. Albert Einstein has stated that "as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality."[13]<br /><br />Many philosophers believe that mathematics is not experimentally falsifiable,[citation needed] and thus not a science according to the definition of Karl Popper. However, in the 1930s important work in mathematical logic showed that mathematics cannot be reduced to logic, and Karl Popper concluded that "most mathematical theories are, like those of physics and biology, hypothetico-deductive: pure mathematics therefore turns out to be much closer to the natural sciences whose hypotheses are conjectures, than it seemed even recently."[14] Other thinkers, notably Imre Lakatos, have applied a version of falsificationism to mathematics itself.<br /><br />An alternative view is that certain scientific fields (such as theoretical physics) are mathematics with axioms that are intended to correspond to reality. In fact, the theoretical physicist, J. M. Ziman, proposed that science is public knowledge and thus includes mathematics.[15] In any case, mathematics shares much in common with many fields in the physical sciences, notably the exploration of the logical consequences of assumptions. Intuition and experimentation also play a role in the formulation of conjectures in both mathematics and the (other) sciences. Experimental mathematics continues to grow in importance within mathematics, and computation and simulation are playing an increasing role in both the sciences and mathematics, weakening the objection that mathematics does not use the scientific method. In his 2002 book A New Kind of Science, Stephen Wolfram argues that computational mathematics deserves to be explored empirically as a scientific field in its own right.<br /><br />The opinions of mathematicians on this matter are varied. While some in applied mathematics feel that they are scientists, those in pure mathematics often feel that they are working in an area more akin to logic and that they are, hence, fundamentally philosophers. Many mathematicians feel that to call their area a science is to downplay the importance of its aesthetic side, and its history in the traditional seven liberal arts; others feel that to ignore its connection to the sciences is to turn a blind eye to the fact that the interface between mathematics and its applications in science and engineering has driven much development in mathematics. One way this difference of viewpoint plays out is in the philosophical debate as to whether mathematics is created (as in art) or discovered (as in science). It is common to see universities divided into sections that include a division of Science and Mathematics, indicating that the fields are seen as being allied but that they do not coincide. In practice, mathematicians are typically grouped with scientists at the gross level but separated at finer levels. This is one of many issues considered in the philosophy of mathematics.<br /><br />Mathematical awards are generally kept separate from their equivalents in science. The most prestigious award in mathematics is the Fields Medal,[16][17] established in 1936 and now awarded every 4 years. It is often considered, misleadingly, the equivalent of science's Nobel Prizes. The Wolf Prize in Mathematics, instituted in 1979, recognizes lifetime achievement, and another major international award, the Abel Prize, was introduced in 2003. These are awarded for a particular body of work, which may be innovation, or resolution of an outstanding problem in an established field. A famous list of 23 such open problems, called "Hilbert's problems", was compiled in 1900 by German mathematician David Hilbert. This list achieved great celebrity among mathematicians, and at least nine of the problems have now been solved. A new list of seven important problems, titled the "Millennium Prize Problems", was published in 2000. Solution of each of these problems carries a $1 million reward, and only one (the Riemann hypothesis) is duplicated in Hilbert's problems.<br /><br /><br /><strong>Fields of mathematics</strong><br /><br />As noted above, the major disciplines within mathematics first arose out of the need to do calculations in commerce, to understand the relationships between numbers, to measure land, and to predict astronomical events. These four needs can be roughly related to the broad subdivision of mathematics into the study of quantity, structure, space, and change (i.e., arithmetic, algebra, geometry, and analysis). In addition to these main concerns, there are also subdivisions dedicated to exploring links from the heart of mathematics to other fields: to logic, to set theory (foundations), to the empirical mathematics of the various sciences (applied mathematics), and more recently to the rigorous study of uncertainty.<br /><br /><br /><strong>Quantity</strong><br /><br />The study of quantity starts with numbers, first the familiar natural numbers and integers ("whole numbers") and arithmetical operations on them, which are characterized in arithmetic. The deeper properties of integers are studied in number theory, whence such popular results as Fermat's last theorem. Number theory also holds two widely-considered unsolved problems: the twin prime conjecture and Goldbach's conjecture.<br /><br />As the number system is further developed, the integers are recognized as a subset of the rational numbers ("fractions"). These, in turn, are contained within the real numbers, which are used to represent continuous quantities. Real numbers are generalized to complex numbers. These are the first steps of a hierarchy of numbers that goes on to include quarternions and octonions. Consideration of the natural numbers also leads to the transfinite numbers, which formalize the concept of counting to infinity. Another area of study is size, which leads to the cardinal numbers and then to another conception of infinity: the aleph numbers, which allow meaningful comparison of the size of infinitely large sets.<br /><br /><br />Natural numbers Integers Rational numbers Real numbers Complex numbers<br /><br /><br /><strong>Structure</strong><br /><br />Many mathematical objects, such as sets of numbers and functions, exhibit internal structure. The structural properties of these objects are investigated in the study of groups, rings, fields and other abstract systems, which are themselves such objects. This is the field of abstract algebra. An important concept here is that of vectors, generalized to vector spaces, and studied in linear algebra. The study of vectors combines three of the fundamental areas of mathematics: quantity, structure, and space. Vector calculus expands the field into a fourth fundamental area, that of change.<br /><br /><br /><strong>Space</strong><br /><br />The study of space originates with geometry - in particular, Euclidean geometry. Trigonometry combines space and numbers, and encompasses the well-known Pythagorean theorem. The modern study of space generalizes these ideas to include higher-dimensional geometry, non-Euclidean geometries (which play a central role in general relativity) and topology. Quantity and space both play a role in analytic geometry, differential geometry, and algebraic geometry. Within differential geometry are the concepts of fiber bundles and calculus on manifolds. Within algebraic geometry is the description of geometric objects as solution sets of polynomial equations, combining the concepts of quantity and space, and also the study of topological groups, which combine structure and space. Lie groups are used to study space, structure, and change. Topology in all its many ramifications may have been the greatest growth area in 20th century mathematics, and includes the long-standing Poincaré conjecture and the controversial four color theorem, whose only proof, by computer, has never been verified by a human.<br /><br /><strong>Change</strong><br /><br />Understanding and describing change is a common theme in the natural sciences, and calculus was developed as a powerful tool to investigate it. Functions arise here, as a central concept describing a changing quantity. The rigorous study of real numbers and real-valued functions is known as real analysis, with complex analysis the equivalent field for the complex numbers. The Riemann hypothesis, one of the most fundamental open questions in mathematics, is drawn from complex analysis. Functional analysis focuses attention on (typically infinite-dimensional) spaces of functions. One of many applications of functional analysis is quantum mechanics. Many problems lead naturally to relationships between a quantity and its rate of change, and these are studied as differential equations. Many phenomena in nature can be described by dynamical systems; chaos theory makes precise the ways in which many of these systems exhibit unpredictable yet still deterministic behavior.<br /><br /><strong>Foundations and philosophy</strong><br /><br />In order to clarify the foundations of mathematics, the fields of mathematical logic and set theory were developed, as well as category theory which is still in development.<br /><br />Mathematical logic is concerned with setting mathematics on a rigid axiomatic framework, and studying the results of such a framework. As such, it is home to Gödel's second incompleteness theorem, perhaps the most widely celebrated result in logic, which (informally) implies that any formal system that contains basic arithmetic, if sound (meaning that all theorems that can be proven are true), is necessarily incomplete (meaning that there are true theorems which cannot be proved in that system). Gödel showed how to construct, whatever the given collection of number-theoretical axioms, a formal statement in the logic that is a true number-theoretical fact, but which does not follow from those axioms. Therefore no formal system is a true axiomatization of full number theory. Modern logic is divided into recursion theory, model theory, and proof theory, and is closely linked to theoretical computer science.<br /><br /><strong>Discrete mathematics</strong><br /><br />Discrete mathematics is the common name for the fields of mathematics most generally useful in theoretical computer science. This includes computability theory, computational complexity theory, and information theory. Computability theory examines the limitations of various theoretical models of the computer, including the most powerful known model - the Turing machine. Complexity theory is the study of tractability by computer; some problems, although theoretically soluble by computer, are so expensive in terms of time or space that solving them is likely to remain practically unfeasible, even with rapid advance of computer hardware. Finally, information theory is concerned with the amount of data that can be stored on a given medium, and hence concepts such as compression and entropy.<br /><br />As a relatively new field, discrete mathematics has a number of fundamental open problems. The most famous of these is the "P=NP?" problem, one of the Millennium Prize Problems.[18]<br /><br /><strong>Applied mathematics</strong><br /><br />Applied mathematics considers the use of abstract mathematical tools in solving concrete problems in the sciences, business, and other areas. An important field in applied mathematics is statistics, which uses probability theory as a tool and allows the description, analysis, and prediction of phenomena where chance plays a role. Most experiments, surveys and observational studies require the informed use of statistics. (Many statisticians, however, do not consider themselves to be mathematicians, but rather part of an allied group.) Numerical analysis investigates computational methods for efficiently solving a broad range of mathematical problems that are typically too large for human numerical capacity; it includes the study of rounding errors or other sources of error in computation.<br /><br /><br /><strong>Common misconceptions</strong><br /><br />Mathematics is not a closed intellectual system, in which everything has already been worked out. There is no shortage of open problems.<br /><br />Pseudomathematics is a form of mathematics-like activity undertaken outside academia, and occasionally by mathematicians themselves. It often consists of determined attacks on famous questions, consisting of proof-attempts made in an isolated way (that is, long papers not supported by previously published theory). The relationship to generally-accepted mathematics is similar to that between pseudoscience and real science. The misconceptions involved are normally based on:<br /><br />misunderstanding of the implications of mathematical rigor;<br />attempts to circumvent the usual criteria for publication of mathematical papers in a learned journal after peer review, often in the belief that the journal is biased against the author;<br />lack of familiarity with, and therefore underestimation of, the existing literature.<br />The case of Kurt Heegner's work shows that the mathematical establishment is neither infallible, nor unwilling to admit error in assessing 'amateur' work. And like astronomy, mathematics owes much to amateur contributors such as Fermat and Mersenne.<br /><br /><strong>Relationship between mathematics and physical reality</strong><br /><br />Mathematical concepts and theorems need not correspond to anything in the physical world. Insofar as a correspondence does exist, while mathematicians and physicists may select axioms and postulates that seem reasonable and intuitive, it is not necessary for the basic assumptions within an axiomatic system to be true in an empirical or physical sense. Thus, while most systems of axioms are derived from our perceptions and experiments, they are not dependent on them.<br /><br />For example, we could say that the physical concept of two apples may be accurately modeled by the natural number 2. On the other hand, we could also say that the natural numbers are not an accurate model because there is no standard "unit" apple and no two apples are exactly alike. The modeling idea is further complicated by the possibility of fractional or partial apples. So while it may be instructive to visualize the axiomatic definition of the natural numbers as collections of apples, the definition itself is not dependent upon nor derived from any actual physical entities.<br /><br />Nevertheless, mathematics remains extremely useful for solving real-world problems. This fact led Eugene Wigner to write an essay, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences.<br /><br />Notes<br />1) ^ No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).<br /><br />2) ^ Peirce, p.97<br /><br />3)^ Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns. Science, 240: 611–616. and summarised at Association for Supervision and Curriculum Development.<br /><br />4)^ Devlin, Keith , Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 100716760223<br /><br />5)^ Jourdain<br /><br />6)^ Eves<br /><br />7)^ Peterson<br /><br />8)^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary<br /><br />9)^ Sevryuk<br /><br />10)^ Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Contains many further references)<br /><br />11)^ See false proof for simple examples of what can go wrong in a formal proof. The history of the Four Color Theorem contains examples of false proofs accepted by other mathematicians.<br /><br />12)^ Waltershausen<br /><br />13)^ Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" He, too, is concerned with The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences.<br /><br />14)^ Popper 1995, p. 56<br /><br />15)^ Ziman<br /><br />16)^ "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics." Monastyrsky<br /><br />17)^ Riehm<br /><br />18)^ Clay Mathematics Institute P=NP<br /><br /><br /><strong>References</strong><br /><br />Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.<br />Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.<br />Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.<br />Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7.— A gentle introduction to the world of mathematics.<br />Einstein, Albert (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)".<br />Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.<br />Gullberg, Jan, Mathematics—From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.<br />Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].<br />Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.<br />Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.<br />Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal". Canadian Mathematical Society. Retrieved on 2006-07-28.<br />Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.<br />The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.<br />Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.<br />Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881). JSTOR.<br />Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.<br />Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X.<br />Popper, Karl R. (1995). "On knowledge", In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.<br />Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal". Notices of the AMS 49 (7): 778-782.<br />Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101-109. Retrieved on 2006-06-24.<br />Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.<br />Ziman, J.M., F.R.S. (1968). "Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science".<br /><br /><br /><strong>for more look wikipedia.org</strong><span style="COLOR: purple"></span>murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3721434206107306555.post-33588198044130847532008-04-30T07:04:00.007-07:002008-04-30T07:27:17.529-07:00The Geometry of Music<p>Music as an audible exploration of hyperdimensional geometries<br /><br />Julie J. Rehmeyer<br /><br />The connection between mathematics and music is often touted in awed, mysterious tones, but it is grounded in hard-headed science. For example, mathematical principles underlie the organization of Western music into 12-note scales. And even a beginning piano student encounters geometry in the "circle of fifths" when learning the fundamentals of music theory.<br /><br />But according to Dmitri Tymoczko, a composer and music theorist at Princeton University, these well-known connections reveal only a few threads of the hefty rope that binds music and math. To grasp the true structure of music, he says, we need to understand the geometry of hyperdimensional objects. Doing so has given him new ways of understanding pieces of music that have long baffled theorists and even led him to new insights into the history of music.<br /><br />Tymoczko compares the structure of music to the shape of a rock face that a rock-climber is scrambling up. "If you know the conditions of the rock face, you can predict the motions of the climber," he says. "The structure of the space makes certain choices overwhelmingly natural or convenient. There's something similar that goes on with music. When you think about things abstractly, you can come to understand that the directions that music went aren't completely arbitrary. Composers are exploring the possibilities that musical space presents them with."<br /><br />Tymoczko built on familiar geometrical analogs for music. For example, musical pitch is often imagined as lying on a line with low notes to the left and high notes to the right. Furthermore, as pitches go higher and higher, the notes repeat in different octaves, such that a low C, a middle C, and a high C all sound very similar. Often, the exact octave of a particular note doesn't matter very much in music. Instead, musicians commonly visualize a "pitch class circle," which comes from the original line by gluing together each point of the line that represents the same note in different octaves. So low C, middle C, and high C, for example, would all be glued together.<br /><br />Applying the same kind of reasoning to complete pieces of music, Tymoczko created a geometric space in which he could analyze a piece of music with two notes being played simultaneously. He started with a piece of paper and made the horizontal direction represent the pitch of one note and the vertical direction represent the pitch of the other. A piece of music with two voices would correspond to dots moving around in this space.<br /><br />Then he modified the space to embed musical structure within it. First, Tymoczko used the same method musicians used to create the pitch circle. He glued the left edge of the page to the right edge, turning the horizontal lines into circles and creating a cylinder from the whole page. Then he glued the bottom end of the cylinder to the top, turning the vertical lines into circles as well and creating a donut shape from the entire page.<br /><br />Next, he noted that the order of the notes in a chord doesn't much matter. That means that the point on his page that has C in the horizontal direction and E in the vertical direction is really the same as the point that has E in the horizontal direction and C in the vertical direction. So he took his space and glued all those points together. It takes a bit of effort to visualize it, but for two simultaneous notes, this turns the donut shape into a Möbius strip.<br /><br /><br />Tymoczko used the same method to create geometrical spaces to model pieces with any number of simultaneous notes. A piece with three notes, for example, would correspond to points in three-dimensional space. When he wrapped the space around to form circles and identified chords with the same pitches in a different order, he created a twisted prismatic donut. More notes require more than three dimensions, which gets hard to picture but not so hard to describe mathematically.<br /><br />Having constructed his spaces, he began translating musical principles into their geometric equivalents. He noted that if he plotted a major chord in his geometrical space and reflected it, as if across a mirror down the middle of the space, it turned the chord into a minor one. Rotating a chord to a different spot in the space corresponded to transposing the chord into a different key. Composers need to choose sequences of chords that the ear can make sense of harmonically, and Tymoczko noted that this tends to be accomplished by transitioning between chords using combinations of these geometric rotations and reflections, or approximations to them.<br /><br />Composers also need to write music in such a way that our minds can link the sounds into simultaneous, overlapping melodies. This is this easiest when each individual melody moves only in fairly small steps.<br /><br />The trick for composers is to accomplish both those goals, harmonic and melodic consistency, at the same time. "We've just translated that into a math problem," Tymoczko says. "The solution is to use sequences of points close together that are related by rotation, or nearly so."<br /><br /><br />Music theorists have long found Chopin's E minor prelude puzzling. Although the chord progressions sound smooth to the ear, they don't quite follow the traditional rules of harmony. When Tymoczko looked at the piece and watched the composition's motion through his geometrical space, he saw that Chopin was moving in a systematic way among the different layers of the four-dimensional cubes. "It's almost as if he's an improviser with a set of rules and set of constraints," Tymoczko says. </p><br />What's particularly amazing, Tymoczko says, is that the mathematics needed to describe these spaces wasn't even developed in Chopin's time. Nevertheless, he says, "it is unquestionable that he had some cognitive representation of the space. So there was this period of history where the only way Chopin could express this abstract knowledge was through music. His knowledge of four-dimensional geometry was most efficiently expressed through piano pieces."murathttp://www.blogger.com/profile/14548345406265451558noreply@blogger.com0