19 Mayıs 2008 Pazartesi

How to Write a Solution

Have a Plan
by Richard Rusczyk

Your goal in writing a clear solution is to prevent the reader from having to think. You must express your ideas clearly and concisely. The experienced reader should never have to wonder where you are headed, or why any claim you make is true. The first step in writing a clear solution is having a plan. Make a simple outline of your solution. Include the items you'll need to define, and the order in which you will write up the important parts of your solution. The outline will help ensure that you don't skip anything and that you put your steps in an order that's easy to follow.

Here's a sample problem:

Problem: A sphere of radius r is inscribed in a tetrahedron. Planes tangent to this sphere and parallel to the faces of the tetrahedron cut off four small tetrahedra from the tetrahedron; these small tetrahedra have inscribed spheres with radii a,b,c,d. Show that a+b+c+d = 2r.

Here's a solution that looks short but is pretty tough to read:

How Not to Write the Solution: Let our tetrahedron be ABCD. The small tetrahedron which includes vertex A is similar to the big tetrahedron. Since the face of this tetrahedron parallel to face BCD is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and this parallel face of the small tetrahedron is 2r. Let's call that small tetrahedron AXYZ. Hence, the altitude from A in AXYZ is ha - 2r, where ha is the length of the altitude from A to side BCD. Therefore the ratio of the altitudes from A in AXYZ and ABCD is (ha - 2r)/ha. Since these two tetrahedrons are similar with ratio a/r (since that's the ratio of the corresponding lengths, namely the radii of the inscribed spheres) we have a/r = (ha - 2r)/ha.

The volume of the tetrahedron is [A]ha/3, where [A] is the area of triangle BCD. The volume of the tetrahedron can also be written rS/3, where S is the surface area of ABCD. We can prove that by letting I be the center of the inscribed sphere. Then the volume of the tetrahedron is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is r[D]/3, where [D] is defined like we defined [A] above. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. When we add them all up, we get

Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3.

We set that equal to our other volume expression and get ha = rS/[A].If we rearrange our equation from above, we have a = r - 2r2/ha. We can then put in the ha expression we just found to get

a = r - 2r[A]/S.

If we define [B], [C], and [D] just like we defined [A], we can use the same argument to get:

b = r - 2r[B]/S
c = r - 2r[C]/S
d = r - 2r[D]/S

Adding these and our expression for A, we get

a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,

as desired..

(General solution method found by community member zabelman in the Olympiad Geometry class.)

The main problem with the above solution is one of organization. We defined variables after they popped up. Midway through the solution we sidetracked to prove the volume of ABCD is rS/3. Sometimes we wrote important equations right in our paragraphs instead of highlighting them by giving them their own lines.

If we outline before writing the solution, we won't have these problems. We can list what we need to define, decide what items we need to prove before our main proof (we call these lemmas), and list the important steps so we know what to highlight.

Our scratch sheet with the outline might have the following:

Stuff to define: ABCD, ha, S, [A], AXYZ.
Order of things to prove:

  1. Volume ABCD = rS/3 (lemma)
  2. Show altitude AXYZ = ha - 2r
  3. Use similarity to get a = r - 2r2/ha
  4. equate volumes to get 1/ha = A/(rS),
  5. sub 4 into 3 and add

This list looks obvious once you have it written up, but if you just plow ahead with the solution without planning, you may end up skipping items and having to wedge them in as we did in our 'How Not to Write the Solution'.

How to Write the Solution: Let our original tetrahedron be ABCD. We define:

[A] = the area of the face of ABCD opposite A
ha= the length of the altitude from A to BCD
S = the surface area of ABCD
AXYZ = one of the small tetrahedrons formed as described

Define [B], [C], [D] and hb,hc,hd similarly.

Lemma: The volume of tetrahedron ABCD is given by rS/3.
Proof: Let I be the center of the inscribed sphere. The volume of ABCD is the sum of the volumes of the tetrahedra IABC, IABD, IBCD, and IACD. The volume of IABC is (r)[D]/3, since the altitude from I to ABC is a radius of the inscribed sphere of ABCD. We can similarly find the volumes of the other 4 pieces. Adding these four tetrahedra gives us

Volume of ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D])r/3 = rS/3

as desired.

---------------end lemma---------------

Since face XYZ of small tetrahedron AXYZ is parallel to face BCD, tetrahedron AXYZ is similar to ABCD. The ratio of corresponding lengths in these tetrahedra equals the ratio of the radii of their inscribed spheres, or a/r.

Since XYZ is tangent to the sphere inscribed in ABCD, the distance between BCD and XYZ is 2r. Hence, the altitude from A to XYZ is ha - 2r. Therefore the ratio of the altitudes from A in the two tetrahedra is (ha - 2r)/ha. Hence,

a/r = (ha - 2r)/ha, or a = r - 2r2/ha.
(1)

The volume of the tetrahedron is ha[A]/3. Setting this equal to the expression from Lemma 1 yields

ha = rS/[A],

and substituting this into equation (1), we get

a = r - 2r[A]/S.

By the same argument, we have:

b = r - 2r[B]/S
c = r - 2r[C]/S
d = r - 2r[D]/S

Adding these and our expression for A, we get

a+b+c+d = 4r - 2r*([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,

as desired.

(General solution method found by community member zabelman in the Olympiad Geometry class.)

Kelebek etkisi

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir. Kelebek Etkisi'ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.

Not: Lorenz'in 1963'te yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz diferansiyel denkleminin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirine karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç birçok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir. .

Kriptografik içinde kelebek etkisi

Kriptografik özet fonksiyonları, girdinin boyutundan bağımsız olarak sabit değerli özetler üretecek şekilde hazırlanırlar ve veri bütünlüğünün garanti edilmesinde kullanılırlar. Dolayısıyla verinin bir bitinin bile değişmesi sonuç değerin yarısından fazlasının değişmesine neden olmalıdır. Bu etkiye kriptografide "avalanche effect" ya da "yığın etkisi" de denir.

Kaynak: Genbilim

Pisagor'un sayılara inancı

Pisagorcular tek ve çift sayilar arasindaki farktan çok etkilenmisler ve evrendeki her seyi iki katogoriye ayirma noktasina varmislardir.Sag tarafa bagli olan tek sayilar, sinirli, eril, sakin, dogru olan ile isik ve iyilikle ve geometride kare ile irtibatlidir.

Buna karsilik çift sayilar sonsuzun, sinirsizin, (sonsuz sekilde bölünebilir olarak) çesitlinin, sol tarafin, disilin, hareketlinin, egrinin, karanligin, kötünün ve geometride dikdörtgenin sahasina dahildir. Tek ve çift sayilar yoluyla açiklanan bir ile çok arasindaki bu zitlik daha sonralari genellikle mistizmde bir hedef olarak bölünmemis mutlak birlik seklinde vurgulanir.Tek sayilar bu yüzden halk inancinda hatta Tanri-bilimsel akil yürütmelerde bile önemli bir rol oynamistir.


Eflatun için, bütün çift sayilar kötülük alametiydi. Hopper,dogru sekilde söyle ifade eder.”disi sayilar sanki yeterli sekilde hor görülmemislermis gibi, sonsuzluk damgasi da görünüse göre çizgi benzetmesiyle onlara vurulmustur.” Virgil, (numero deus impare guadet) ”Tanri tek sayilardan hoslanir.” der.

Ayni fikir Islam-i gelenekte de sürdürülür ve söyle denir; Süphesiz Tanri tektir ve tek sever. Shakespeare’de söyle ifade eder.”tek sayilarda tanrisallik vardir.” Tek sayilardan hoslanma meyli ayin fiillerinin, dualarin, büyüsel sözcüklerin ve benzerlerinin tek sayilarda tekrarlanmasi adetine yol açmistir.Büyü 3 veya 7 kez yapilir ve bir dua veya “amin” ile biten cümleler üç kere tekrarlanir.

Büyüsel dügümlerde tek sayilarda baglanirdi. Talmud tek sayilarin kullanimi ve çift sayilardan kaçinmak hakkinda çok miktarda örnekle doludur. Günümüzde ise tek sayida çiçek içeren buketler göndermek adettir. Pisagorcular sayilari daha çok geometrik sekillerle irtibatlandirirlardi.3, 6, 10, 15 üçgensel sayilar, 1, 4, 9, 16, 25 karesel sayilar (yani 1, 2, 3, 4, 5’in kareleri).Nokta 1’e , çizgi 2’ye mekan 3’e (çünkü önce üçgende görülür) ve cisim 4’e (4 mekan tarafindan çevrildiginden) aittir. Pisagorcu sistemde en mükemmel sayi 10’dur.

Çünkü ilk dört tam sayinin toplami dir.(1+2+3+4) ve bir eskenar üçgen tarafindan temsil edilebilir.Böylece çokluk 10’da yine teklik haline gelir.Bu sebepten Pisagorcular kozmik düzende kendi sistemleri içine yerlestirmek için 10 göksel cisim kesfetmeye gayret ettiler. Ve onuncunun yoklugunda onu icad ettiler. Aristo (I.Ö.384-322),metafizik ile ilgili ilk kitabinda Pisagorcu sayi gizemciligi hakkinda biraz olsa da elestirsel yazar.Tamamen matematige batmis olarak onlarin, sayi ilkelerini var olan her seyin ilkesi olarak varsaydiklarini ifade eder.
Matematikte oldugu gibi sayilar, tabiatiyla ilk nesnedir.Pisagorcular sayilarda var olan ve olacak olacak seylerin bir çok benzerliklerini teshis etmeyi düsündüler.Ates, hava, su, toprak unsurlari gibi; Onlar ayrica müzik notalarinin sayilara göre sekillendirilmis olarak görünmesi gibi sayilarinin unsurlarini da var olan her seyin unsurlari olarak degerlendirdiler ve gögün bütün çatisinin ahenk ve sayi olduguna inandilar.Sayilarin belirtisinden birinin de adalet oldugu, bir digerinin ise ruh veya akil oldugu farz edildi.Belirtilerin diger biçimleri zaman ve firsatti ve böylece hiçbir sekilde var olmamis her sey bir yandan sayilarla uyumlar arasindaki, bir yandan da gögün nitelik ve parçalari ile bütün alem arasindaki uygunluklari topladilar ve karsilastirdilar ve atlanmis bir sey varsa suni bir yapistirici sistemde ki her yerde iliskiler saglamak için yardim etti.

Mesala, 10 sayisinin onlara en mükemmel sey ve bunun yaninda bunun yaninda bütün sayilar alanini kucaklar gibi görünmesinin bir sonucu olarak yildiz türünden gökte dolanan 10 cisimde bulunmaliydi.Fakat, görünen sadece 9 cisim varken onlar onuncu bir cisim icat ettiler; görünmez bir karsi-dünya. Aristo tarafindan adalete isaret etmek üzere seçilen sayi 4 tür.Çünkü, es etkenlerin ürünüdür.

Yani ilk kare sayidir.Pisagorcu düsünürler için, bu tür esitlikler kesfetmeye çalistiklari uyum ve güzelligin objektif ölçülerinin dogrulugunu gösterdi. Hayatin ölçülerinin ve her seyi kucaklayan uyumun süregelen arastirmasiyla birlikte Eflatun bile sayilarin Tabiatin gizemlerini çözmek için bazi anahtarlar içerdigini kabul etmisti.

Pisagorcu ve Eflatuncu fikirler Yeni Eflatunculuga ve Gnostik sistemlere nakloldu ve sayi mistizmine yol açti. Kurdugu Yeni Eflatuncu sistemi, üç dindeki mistik akimlari etkileyen Plotin söyle der; ”Sayilar onlar tarafindan tanimlanan objelerden önce var olurlar.Duyu objelerinin farkliligi adeta sayi mefhumunun ruhunu hatirlatir.” Bu düsünce çizgisinde devam ederek Iskenderiyeli Filo, Eski Ahid ve Pisagorcu gelenekteki fikirleri kaynastirdi ve böylece agirlikli olarak sayi mistizmi tarafindan belirlenen Ortaçag Kitab-i Mukaddes yayinlari için esas olusturdu.

Bununla birlikte ortaçag dünyasinda Pisagorcu gelenegin en önemli gelisimi Kabaladir.Kabala yüksek derecede karisik bir sayi mistizmi üzerine kuruludur.Buna göre asli 1 kendini 10 Sefirota böler.Sefirotlar gizemli sekilde birbirleriyle baglantilidir ve onlar arasinda köprü vazifesi Ibrani Alfabesinin 22 harfiyle beraber isgörürler.
En üstteki sefirot, Keter (TAÇ) dir.Onun disinda Hokhmah (HIKMET) ve Binah (AKIL) dallarina ayrilir.Dördüncü sefirot Hesed (ASK) veya Gedullah (AZAMET) diye adlandirilir.Besincisi Gevurak (ADALET) tir.Altincisi Tiferet (GÜZELLIK) ve yedincisi Netsah (ZAFER) bunlara Hod (IHTISAM) sekizinci olarak Yesod (TEMEL) dokuzuncu olarak ve son olarakta Malkhut (HÜKÜMDARLIK ve GERÇEKLIK) eklenir.

Ibrani harfleri sayi olarakta is gördüklerinden sefirotun sekli ve onun türemeleri, evrenin farkli kisimlari arasinda ilginç iliskilere yol açmistir. Ortaçag Hiristiyanligi, gnostik tarikatlar arasinda da ayni gelenegi paylasmistir..Seville’li Isodere’nin yazdigi gibi “ Tolle numeroum omnibus rebus et omnia pereunt “ [ Bütün nesnelerin sayilarini alin hepsi çürüyecektir.]Kitab-i Mukaddes’de her seyin sayi ve ölçü ile düzenlendigini söylemez mi?

Kaynak: Genbilim

Matematiksel İfadeler Nasıl Yazılır

Internette matematiksel ifadeleri yazmak, resim formati olmaksizin, gerçekten zordur. Bunun için özel yazim kurallari vardir. Posta yazarken, guruplarda haberlesirken bu yazim kurallari geçerlidir.

Temel kurallar: Öncelikle, matematiksel ifadeler içeren bir posta gönderirken, yazi tipini esit-aralikli (courier gibi) seçmelidir. Bu hem gönderici hem de alici için, kolonlarin ayni sekilde siralanmasini garantiler. Her 80. kolondan sonra “enter” tusuna basmak da önemlidir.

Otomatik sarmayi düsünmeden mutlaka her kolondan sonra “enter” tusuna basmalidir. Çogu okuyucu, kesin sira sonlari olmadigindan, postalari görüntülemede zorluk yasamaktadirlar. Lütfen web sayfalarindan kopyala yapistir yoluyla yada yazi-tablolarindan seçerek özel simgeler kullanmayin. Baskasina ulastiginda okuyamayabilir. Ve lütfen, hiçbir yerde “tab” lari da kullanmayin. Bu durumda kolonlarin ayni sekilde siralanmasi gerçeklesmeyebilir. Bu yüzden, her zaman “tab” yerine “bosluk” kullanin.

Kuvvet alma: x^n gösterimi genel olarak xn manasina gelir. Kuvvet alma islemini ^ sembolünü kullanarak gösterme, kuvveti önceki satirda dogru yere yerlestirebilmekten çok kolaydir. Eger kuvvet birden fazla karakter içeriyorsa, parantez kullanmayi unutmayin - x^(n+1) gibi- örnegin. y = ex fonksiyonunu gösterirken, y = e^x yada y = exp(x) kullanimlari yaygindir.

Çarpim: * sembolü aksi söylenmedigi müddetçe çarpim olarak kabul edilir.

Karekök: Bir ifadenin karekökleri sqrt(ifade) yada (ifade)^(1/2) ile gösterilir. Daha yüksek dereceli kökler için kuvvet kullanilir, örnegin (ifade)^(1/3) gibi. Oltaya benzeyen kök sembolünü kullanmamaya dikkat edin.

Parantezler: Karisiklik olmasi muhtemel yerlerde mutlaka kullanin.
anlasilmaz…..anlasilir…..anlasilir
1/2a…………1/(2a)………(1/2)a
2^n-1……….2^(n-1)……(2^n) - 1
e^x^2……….e^(x^2)……(e^x)^2
Genelde parantez kullanilmamissa, matematikteki islem sirasi gözetilir.
Fonksiyonlari gösterirken argümanti paranteze alin. Örnegin y = sin ^ 2 (2x) gibi.

Mutlak deger: x’in mutlak degeri x ile gösterilir. isaretini üreten tus takimi “ALTGR”+”-” (bosluk çubugunun hemen sagindaki ALT tusu ile sag üst köseye yakin olan geri al tusu (<–)).

Türev: f ‘(x) gösterimi df /dx gösteriminden daha kolaydir. 2. dereceden türev için f “(x), 3. derece için f “‘(x), 4. derece için f “”(x) vb. Çok yüksek dereceler için ise, dy/dx (y’nin x’e göre türevi) ve d^n y/dx^n (y’nin x’e göre n. dereceden türevi) gösterimleri daha kullanislidir.

Esitsizlikler ve Bagintisal semboller: Küçük veya esit için <=, büyük veya esit için >=, esit degil için <> yada !=, yaklasik degeri için ~, daha küçük için <<, daha büyük için >> ve denklik için ? sembollerini kullanin.

Yunan harfleri: Bu harfleri ya heceleyebilirsiniz, delta, epsilon, theta ve omega gibi, yada latin harf karsiliklarini kullanabilirsiniz, d, e, q ve w gibi.

Özel sayilar: p sayisi “pi” yazarak ifade edilir. Sonsuz gösterilirken, ? yada oo yerine yaziyla sonsuz kullanilir.

Kaynak: Genbilim

Trigonemetri Tarihi

Hint

Içinde bulundugumuz yüzyilin bilimsel arastirmalari, Hint Dünyasinin, özellikle 6., 7., 9. ve 12. yüzyillarda matematik ve astronomide bilimsel bakimdan üstün düzeyde ilginç çalismalarin varligini ortaya çikarmistir. Eserleriyle adlari zamanimiza kadar gelebilen Hint bilginleri, bilim tarihinde kendilerini etkin bir biçimde göstermektedirler.

Bunlardan; belirttigimiz yüzyillar için-de yasamis olan, Hint matematikçilerinden; Brahmagupta (598 -660), Aryahatha (6. yüzyil), Mahavira (9. yüzyil) ve Bhaskara'nin (1114-1158) adlarini belirtebiliriz.

Kaynaklar; Hintli matematikçilerin, özellikle trigonometri konusundaki bilgileri, müspet sekil-de zenginlestirmis olduklarini ve Mezopotamya temelli bilgileri, zamanin bilim dili olan Sans-kritçe ve Pevlevice'den yapilan tercümeler yoluyla, 8. yüzyil ortalarindan itibaren Islam Dün-yasina intikal etmis oldugunu belirtir.

Mısır

ESKI MISIRLILAR'DA TRIGONOMETRI
Inceleyebildigimiz kaynaklar; Misir matematiginde seked ve sek kelimelerinin, bir açinin ko-tanjantina den anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, baslangicini eski Mi-sirlilara kadar götürmenin gerektigini belirtir. bu konuda Aydin Sayili "Misirlilar'da ve Mezo-potamyalilar'da Matematik, Astronomi ve Tip" adli eserinde sunlari yazar: Misir'da seked di-sinda, bu konuda herhangi bir gelismeye sahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla ayni olan bir kavramla "Mezopotamya Matematginde" de karsilasilmakta oldugu ve trigo-nometrinin baslangicini Misirlilara götürmek isabetli düsünce sayilmaz. "Misir Geometrisi-nin", "Dogru Geometrisi" olarak vasif tasidigini belirterek, müsterik Gandz'a atfen de Misir'da "Açi Geometrisinin" mevcut olmadigini belirtir.

Yunan



ESKI YUNAN'DA TRIGONOMETRI
Trigonometri'de: "Herhangi bir ügende, dik kenarlarin kareleri toplami, hipotenüsün karesine esittir" seklinde temel bir teorem vardir. Bu teoremin adi Pisagor teoremi olarak bilinir. Ger-çekte; bu teoremin varligi, Pisagor'dan ortalama 2000 yil kadar önceleri, Eski Misir ile Mezo-potamyalilar tarafindan Babil çaginda bilinmekte idi. Mezopotamyalilar, bu teoremin, hem özel hem de genel seklini biliyorlardi. Blim tarihi eserleri; Thales'in, Pisagor ve Öklid'in, eski Misir ve Babil yörelerini uzun yillar dolasmis olduklarini belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Misir ve Babil' den elde etmis olduklarini belirtir.

Mezopotamya


MEZOPOTAMYALILAR'DA TRIGONOMETRI
Inceleyebildigimiz kaynaklar; Mezopotamyalilar'da, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin ilkel bir örnegiyle karsilasilmakta oldugunu, ve Hipparchos'un tri-gonometri çalismalarinin, ilkel baslangicinin "Mezopotamya Matematigine" kadar geri gitme-sinin mümkün sayilabilececgini belirtmektedir. Aydin Sayili, yukarda adi geçen eserinde bu konuda genis bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menseinin Mezopotamyalilar'a kadar geri gittigini ve Mezopotamyalilar'dan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmis olduklarini ileri sürebilir" der.

Avrupa


TRIGONOMETRENIN AVRUPA'DA GÖRÜLMESI
8. ile 15.yüzyil Türk - Islam Dünyasi matematik ve astronomi bilginlerinin hazirladiklari eser-lerin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri vardi. Bu durumda; bu devir Türk - Islam Dünyasi'nin ünlü matematik ve astronomi bilginlerinden, Sabit bin Kurra, Beyruni, Ebu'l Vefa, Ali Kusçu ile çagdaslarina ait ilgili eserlerin asillari ya da tercümeleri, Johann Müller ve çagdaslari ile kendisinden önce ve sonra gelen Avrupali matematikçilerin gözlerinden kaçmis olmasi düsünülemez.

Johann Müller 8. ile 15. yüzyil Dogu bilim dünyasinin ünlü yazma eserleri ile zengin bir kata-loga sahip olan basta Vatikan ile diger Avrupa kütüphanelerinden elde ettikleri, dogu bilim dünyasindan intikal etmis matematik ve astronomi ile ilgili eserlerin bir kismini incelemis ve zamaninin bilim dili olan Latince'ye çevirmislerdir. Bu çalismalarin sonunda De Triangulis Amnimodis Libri V. adli bir kitap yayinlamislardir. Bu kitap, yukarda sözünü ettigimiz düzlem ve küresel trigonometri konularini kapsayan Latince bir eserdir. Johann Müller'in bu eseri de, ölümünden 57 yil sonra, yani 1533 yilinda Nurnberg'te yayinlanmistir.

Bu durumda, Johann Müller'in, El - Battani'den taklid edilmis denilen eser, kendisinin ölümün-den sonra gelen çagdaslari bile, 57 yil anlamakta güçlük çekmis olduklari anlasilmaktadir. El - Battani ve Ebu'l Vefa'dan 500 yil kadar sonra, trigonometri ile ilgili bilgiler; Avrupa'da, Jo-hann Müller ve çagdaslarinin eserleri ile 1533 yilindan itibaren görülmeye ve yayginlasmaya basladigi açik olarak ortaya çikmaktadir.

Türk-İslam



TÜRK - ISLAM DÜNYASI'NDA TRIGONOMETRI
Içinde bulundugumuz yüzyilda yapilan bilimsel arastirmalar göstermistir ki; trigonometriye ait temel bilgiler, 8. ile 16. yüzyil Türk - Islam Dünyasi matematikçileri tarafindan ortaya konul-mus ve belli bir noktaya kadar da gelistirilmistir. Bunun nedenini, su sekilde açiklamak müm-kündür. Bi-lindigi gibi, 8. ile 16. yüzyilda Türk - Islam Dünyasi'nin hemen her yöresinde astro-nomi (gökbilim) çalismalari ve bunun sonucu olarak da, yogun bir rasathane (gözlemevi) kurma çalismalari vardi. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalismalarda, astronomiye yardimci olarak, trigonometri kulla-nilmaktaydi.

Astronominin temelini teskil eden küresel astronomi, dogrudan dogruya, küresel trigonomet-rinin astronomiye uygulanmasindan dogmustur. Gezegen ve uydu ile yildizlarin gökküresin-deki yerleri (koordinatlari) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin, küresel tri-gonometriye uygulanmasiyla elde edilebilmektedir. Dolayisiyla, o devir Türk - Islam Dünya-si'nda, Trigonometri müstakil bir bilim haline gelmis ve oldukça gelismistir.

8. ile 16. yüzyil Türk-Islam Dünyasi matematik ve astronomi bilginlerinin hazirlamis olduklari "Ziyc" adli eserin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konul-mustur. Gene bu devir Türk - Islam Dünyasi bilginleri, Batlamyos'un (Claidius ptolemeios 85-160) ünlü eseri, degisik tarihlerde degisik matematik ve astronomi bilginleri tarafindan micisti (almagesti) adiyla serh edilmistir. Bu serhlerde de, yer yer trigonometri bilgileri zenginles-tirilip gelistirildi.

Giyasüddin Cemsid ve Trigonometri
Giyasüddin Cemsid, 1 derecelik yayin sinüs degerini, bugünkü degerlere göre 18 ondalikli sayiya kadar dogru olarak hesaplamistir. Bu konuda 1 derecelik yayin sinüsüsünü geometri ve cebir yoluyla hesaplamis ve böylece trigonometrik tablolarin tanzim isini sistemle bir esa-sa baglamistir. Dolayisiyla kendisinden sonra gelen Islam Dünyasi ie Bati Dünyasi matema-tikçilerine, zamaninda orjinal olan yeni bilgi hazineleri birakmistir.

Remzi Demir

Kaynak: Genbilim

Matematikten Korkmayın !

Kim korkar matematikten?Neden matematik ögreniyoruz? Konustugunuz herkesin matematikle ilgili söyleyecek bir seyleri vardir. Bazi insanlar matematigi sever, kimileri ise pek hoslanmaz. Bazi ögrencilere göre matematik birçok kural ve formülden olusan bir derstir. Kimine göre ise, matematik hayatin içindedir. Alisveriste bir sey satin alacagimiz zaman, yemek yaparken kullanacagimiz malzemenin ölçüsünü ayarlarken, ya da bir bina insa ederken, yani sik sik kullandigimiz bir seydir.

Öyleyse matematik sadece sayilardan ibaret bir ders midir?

Elbette sayilarin önemi tartisilmaz; fakat matematik ayni zamanda, iliskileri görmeyi, sebeb-sonuç iliskisini kurabilmeyi, okuma ve yazmayi, tablolari, resimleri, grafikleri yorumlayip kullanabilmeyi içerir. Bulmaca çözmek, gazete okumak gibi gündelik faaliyetlerimiz ayni zamanda bizim için birer matematik alistirmasidir.

Matematik sinavinda heyecanlaniyorum.
Ders zamani ayaklarim geri geri gidiyor.
Tahtaya kalkmak benim için bir kâbus Kim korkar matematikten?
Neden matematik ögreniyoruz?


Konustugunuz herkesin matematikle ilgili söyleyecek bir seyleri vardir. Bazi insanlar matematigi sever, kimileri ise pek hoslanmaz.

Matematik kaygisi!

“Matematik dersine girecegim zaman ayaklarim geri geri gidiyor. Derste tahtaya kalkmak benim için bir kabus. Derste soru sormaya çekiniyorum. Simdi bazi islemleri anlayabiliyorum ama ileride konularin daha zorlasacagindan endiseleniyorum. En fazla matematik sinavina girecegim zaman heyecanlaniyorum. Sinava nasil hazirlanacagimi bilmiyorum. Derste konulari anliyorum; ama eve geldigimde, sanki hiç sinifta bulunmamisim gibiyim. Matematik dersinden kalmaktan korkuyorum.” Yukaridaki ifadeler sizden bir seyler barindiriyorsa, matematik kaygisi tasiyor olabilirsiniz. Matematik kaygisi, matematik dersine karsi duyulan duygusal bir tepkidir. Geçmiste yasanmis olumsuz ve deneyimlerden kaynaklanir. Bu, ileriki ögrenmeleri de engeller.

Matematik korkusundan nasil kurtulabilirsiniz?

Öncelikle matematiksel geçmisinizi tespit edin Islem kabiliyetiniz yetersiz ise matematigin temel konularini çalismakla ise baslayabilirsiniz. Islem kabiliyeti, matematigin ABC’si gibidir. Nasil ki harfleri bilmeden okuma-yazma ögrenemezseniz; islem yapmayi bilmeden matematigin diger konularini ögrenmeniz mümkün degildir. Eger islem kabiliyetiniz düsük ise ders çalismaya dört islem, rasyonel sayilar ve islemler, köklü ve üslü ifadeler, çarpanlara ayirma, özdesikler konulariyla baslayabilirsiniz. Ilkögretim ögrencileri özellikle dört islem kabiliyetini (toplama, çikarma, bölme, çarpma) çok iyi edinmis olmalidir.

Islem kabiliyetiniz iyi, fakat konulari anlamakta güçlük çekiyorsaniz; ders çalisirken konulari kavramaya daha fazla vakit ayirmalisiniz. Özellikle matematigin en güç alani çesitli problem tiplerini birbirinden ayirt edebilmektir. Yani hangi problem nasil çözülür? Bu ayirimi yapabilme seviyesine gelene kadar konu çalismasina devam edin. Birçok matematik kitabinin sonunda konu tekrar problemleri vardir. Her konunun sonundan bir problem seçerek, bu problemler arasindaki farkliliklari not edin. Her problemin çözümü için yapmaniz gereken, ilk basamagi yazin.

Mesela; OBEB ile OKEK problemleri arasindaki fark nedir? Yas problemleri ile isçi problemlerini nasil ayirt ederim ve her biri için isleme nasil baslarim gibi. Güçlük çektiginiz konulari asla atlamayin. Onlari iyice ögrenmeden yeni konuya geçmeyin. Örnek problemleri islem basamaklarini iyice kavrayana kadar tekrar tekrar çözün. Bunun vakit alacagini da aklinizdan çikarmayin.

Islem kabiliyetiniz iyi, konulari anliyor fakat çok hata yapiyorsaniz; konu çalismasindan çok pratik yapmaya zaman ayirmalisiniz. Bir konuda kendinizden emin olana kadar çok örnek çözün. Problem çözerken yaninizda bir saat bulundurun ve bir müddet sonra gittikçe kisalan sürelerde problemi çözüp çözemediginizi kontrol edin. Konulari küçük parçalara ayirin ve basit örneklerden zor örneklere dogru ilerleyin.

Matematik dersinde elde edeceginiz basarilar, geçmis olumsuz deneyimlerinizin izini silecek, gelecek ögrenmeleriniz için yol açacaktir. Bunun için eksiklerinizi bir an önce telafi etmeye baslayin. Basit konulari çok iyi anlayana ve problem çözümünde yeterince otomatiklesinceye kadar soru çözmeye devam edin. Olumsuz iç konusmalara son verin ‘Bunu asla anlayamam, bu problemi çözmem imkansiz, basaramayacagim’ gibi içinizde sürekli tekrarlanan iç konusmalariniza kulak vermeyin. Olumsuz iç konusmalarin insana hiçbir faydasi yoktur. Bu konusmalardan kurtulmak için su yöntemi kullanabilirsiniz: Olumsuz iç konusmalariniz basladigi zaman gözlerinizi kapatin ve konusan sesi bir hoparlör gibi düsünün.

Simdi bu sesi (hoparlörü) öne çagirin gelsin. Ne diyor? Bu sese ihtiyaciniz var mi? Size bir faydasi var mi? Eger cevabiniz olumsuz ise o hoparlörün sesini kisin, artik hiçbir sey söyleyemesin. Ya da o sesi kaale almadiginiz biri karsinizda konusuyormus gibi düsünün (mesela bir çizgi film karakteri gibi)



Matematik dersine nasil çalisilir?

1 Ihtiyaç duydugunuzda ögretmeninizden ya da bilen bir kisiden yardim isteyin. Yapamadiginiz sorularin yanina bir isaret koyun. Ev ödevlerinde yapamadiginiz sorulari atlamayin. En kisa zamanda bu sorularin çözümlerini bilen birinden ögrenin.
2 Sadece ögretmeni izleyerek konuyu anlayamayacaginizi unutmayin. Mümkün oldugunca çok örnek çözün.
3 Kurallari, formülleri, islem basamaklarini küçük kartlara yazin. Bu kartlardan birini rastgele çekerek kural veya formül hakkinda neler bildiginizi kontrol edin. Bunu arkadaslarinizla ya da aile fertlerinizle bir oyun haline getirebilirsiniz.
4 Bir arkadasinizla birlikte çalisin. Arastirmalar, grupla çalisan kisilerin yalniz çalisanlara göre daha iyi performans gösterdiklerini ispatlamistir. Zaman zaman birbirinizin islemlerini kontrol edin.
5 Konunun basligini muhakkak yazin. Eve geldiginiz zaman ödev yapmaya baslamadan önce defterinizdeki basligi renkli bir kalemle çizin. Bu sizin ne yaptiginizi görmenize yardimci olacaktir.
6 Islem yaparken her basamagin yanina ne yaptiginizi kendi kelimelerinizle tekrar not edin.

Niye matematik en korkunç ders?

Matematik, endüstrilesmis toplumun hemen hemen her ürününde var. Hiçbir gökdelen, hiçbir cep telefonu veya antibiyotik matematik olmadan gelistirilemezdi. Gündelik yasamda ne kadar çok matematik bilgisi varsa bunlari kullanmak için o kadar az matematik bilgisi gerekiyor. Avrupa genelinde yüz binlerce ögrenci OECD adina uluslararasi bir uzman ekibi tarafindan hazirlanan “Programme for International Student Assessment”in soru formlarini doldurdu. Arastirma daha çok ögrencilerin matematik kabiliyetini ölçmeye dayaniyordu. Türkiye 40 ülke arasinda matematikte 33. sirada, okumada 33. sira ve tabiat bilimlerinde 35. sirada kaldi. Matematik sorulari, ezbere dayanmayan problemlerden olusuyordu. Ögrencilerden formüllerle ugrasmak yerine matematigin dünyada oynadigi rolünü kavrayarak, mantikli bir sekilde uygulamalari istendi.

Gündelik yasamdaki sorularin matematik diline çevrilmesi egitimciler tarafindan dilimize asagi yukari ‘matematik okuryazarligi’ olarak çevrilebilecek, “Matematical Literacy” olarak adlandirilmakta. Basarili Pisa ögrencileri her test sorusu için uygun formülü aramak zorunda olmasalar da, soruyu çok iyi anlamak zorundadirlar. Örnegin 1998 ve 1999 yillari arasinda gerçeklestirilen gasp olaylarinin gösterildigi bir grafigi, su soruya göre yorumlamak zorundalar: Gasp olaylarinin arttigi dogru mudur? Ögrencilerin birçogu ‘evet’ diyor.

Sonuçta yandaki sütun çok daha yüksektir. Oysa eksenlerin derecelendirilmesine bakan ögrenci gerçekte gasp olaylarinin artmadigini görür. Diger sorular da uygun deneylerle çözülebilmekte. Listenin sonlarinda yer alan Türkiye’de ögrencilerin yaridan fazlasi (yüzde 53) matematikte birinci düzeyin altinda kaldi. OECD ülkeleri ortalamasi için bu oran yüzde 30’un altindadir.

Türkiye’yi diger ülkelerden ayiran bir özellik, okul türleri arasindaki farkliliklarin en büyük oldugu ülke olmasidir. Japonyanin özellikle de matematikte hep üst siralarda yer almasi, durmadan çalismayi gerektiren acimasiz bir sisteme baglaniyordu. Tokyo’daki Suginami Ilkögretim Okulu’nda yapilan bir ziyaret ilk basta bu önyargiyi kanitliyor gibi. Matematik dersi matematik sorularinin sinifça toplu halde çözülmesiyle basliyor. Bir ögrenci, örnegin 36 x 8 esittir 288 dediginde, dördüncü sinifin geriye kalan tüm ögrencileri “dogru” diye yanit veriyorlar.

Ögretmen Yasuho Arita sirayla herkesi kaldiriyor ve en sonunda tüm ögrenciler ayni sorulari kendi kendilerine çözüyorlar ve Arita ögrencilerin basinda kronometreyle bekliyor. Hesap alistirmalari bittikten sonra Arita’nin “ilginç matematik” dedigi basliyor. Ögretmen tahtaya köseli bir insan çiziyor. Ögrenciler bu figürü yap boz parçalarina benzeyen Tangram taslariyla biçimlendiriyorlar. Ve birdenbire Japonya’daki matematik dersinin sanildigi gibi sadece kati kurallarla islemedigi ortaya çikiyor. Arita, gayet cazip yöntemlerle ögrencileri matematige özendirmekte. Ona göre tek basina mekanik alistirma, zorlu matematik problemlerini çözme hevesini söndürmekten baska hiçbir ise yaramaz. ‘Burada kisisel çaba gerekli.’ diyor Arita...

Japon okullarindaki diger önemli bir konu da problemlerin herkes tarafindan tamamen anlasilana dek sinifça o problem üzerinde çalisilmasi. Anlasildigi üzere Japon ögrenciler toplu halde alistirma yapma ve “ilginç matematik”le biçimlenen matematik dersinin yararlarini görüyorlar. Oysa ülkemizde diger derslerde oldugu gibi matematik de büyük ölçüde formüllerin ezberlenmesine dayanir. “Müzik egitimi alan bir ögrenciye yillarca nota ezberletmeye benzeyen bu sistem, sanata, nefret duymaktan baska bir sey vermez.” diyor Enzensberger.

Matematik korkutan bir ders olmamali. Ögrencilerin sayilarla ilgili bilmece dünyasina olan meraklarini uyandirmak mümkün. Ve bu, sayilarla çevrili bir dünyada pek de sasirtici olmasa gerek.

Der Spiegel

Kaynak: Genbilim

Matematik Paradoksları

Dogru Parçasi Paradoksu: Önce dogru parçasinin tarifini yapalim: Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor: Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez.

100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için gerekli olan boyut özelligini saglamiyor) Bu suna benzer ki; sifir ile sifirin toplami yine sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur.

Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda sonsuz adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu sonsuz olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

2+2=5 ?

X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................esitligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.
X + X = X..........................................X = Y oldugundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladik.
2 = 1 ................................................'X' ler sadelesti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:

George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, asil kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:

2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:

card(2ª) card(a)................1

Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)...................2

olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.

Karışım Paradoksu:

Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor:

Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?

Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:

Kabul edelim ki karisimimiz homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:

ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:

ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur.

Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:

a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadelesti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karışık Bir Hesap:

iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda toplam 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?

1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)

(1) ve (2) çarpilirsa:

2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:

Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"

Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de siyah oldugunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek.

Bilinen su ki çok sayida siyah kuzgun ve yine çok sayida siyah olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir.

Arnauld Paradoksu:

Herkes bilir ki;

(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi

Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrica;

(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi

Yine negatif sayilar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) <>

Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.

Berber Paradoksu:

Klasik paradokslardan biri daha:

Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima ters düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:

1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:

"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim"

Russel'in "Kümeler" Paradoksu:

Russel'a göre iki çesit küme var:

a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemani olmayan kümeler.

simdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?

14 Mayıs 2008 Çarşamba

Matematik + Bilim + Gönül = Gerçek İnsan

"Konuşacak konu çok, hepsi herhalde ilgilendirir sizi. Bildim bileli bir Avrupa Birliği lafıdır gider. Öte yandan ABD'nin en adi takipçisi oldular. ABD ve AB matematik olarak aynı sonuca çıkar. Tarzanca eğitim görürsen Tarzan olursun. İngilizce 2-3 dilin kırmasıdır. Oxford'daki asillik ABD'de "paran kadar konuş" şekline gelmiştir. 1066 yılında Normanlar Fransa'dan İngiltere'ye geçip işgal edince İngilizlerin ilkel yaşamlarıyla karşılaşıyorlar ve onlara hakim oluyorlar. Oxford "öküz kalesi" demektir. Bugüne kadar da üst tabaka hep Normanlar olmuştur asillik devam etmiştir. Halbuki bizde köylü bile başbakan olabilmiştir. Orada demokrasiyi insanları uyutmak için kullanmışlardır hep. Asıl önemli olan bunun bağıntısını "çakozlamak".

Sizden şu bağıntıyı kurmanızı istiyorum. 1071 Selçuklulardan önceleri de Türkler Anadolu'ya gelmeye başlamışlardı. İngilizler ilkel yaşarken 200 sene evvel İbn-İ Sina ve benzerleri en ileri tıp, bilim, cebir(Harezmi-Harzemli, Türkistan) bulmuşlardı. Bunları yabancı kitaplarda görebilirsiniz ama bizde öğretmezler, atalarımızı öğrenmeyelim diye. Okuyan ve okumayan, başka ayrım yok, yoksa herkes bizdendir. O zaman bizim tıp kitabı Avrupa'da okutuluyordu. Veba pireden geçer, fare pireyi taşır. Osmanlı'dan hekim istemişlerdi bu hastalığa çare bulmak için. Gidiyor ve onlara yıkanmayı öğretiyorlar bizimkiler.

Nostradamus'u Türkiye'de keşfettiler yeni. Katolik papazıdır. O zamanki en büyük devletler Türk devletleri. Nostradamus çıkmış dolaşmış, tıp ve Türk tasavvufunu öğrenmiş, binlerce yıllık. Yazmış ama kehanet olmuş. Selçuklular haçlıları bitirdi. Sonra İngilizler düşman ettiler. Filistin. İngilizler perde yapmış kafalara. O temaslarla kimya (chemistry kimya'dan gelir) vs. öğrendiler.

Batılı Türk diyemez. Ne korkuyorsun hala. Batıya insanlığı da biz öğrettik. Bizim bölgelerde katliam yoktur. Bir tane onbaşı, herkes memnundur, idare eder.

Osmanlı'dan sonra İttihat ve Terakki sayesinde savaş. Halbuki Osmanlı barışı (pax ottomana) 600 sene sürüyor. Bir de Roma devrinde pax romana 100 sene sürmüş. Octavius bu kadar fütuhat yeter demiş. Batı eskiden de bugün de katliam meraklısıdır. Babamın memleketi Batı Trakya Kavala. Onun zamanında çoğu Türk imiş. Şimdi bir tane Türk yok. Kendi tarihihi bilmezsen batının oyununa alet olursun.

İngilizce olarak okumayacaksın "Bosphorus"daki gibi. Ama bunu bildikten sonra hala sessiz kalırsanız herşeye müstehaksınız demektir.

AB ve ABD tarzı "Milli Eğitim" ne millidir ne de eğitimdir. Sıfır bile değil, eksilerle ifade etmet gerekli. İkili anlaşmalarla Azmanistan'a teslim edilmiş. 60 tane danışman, bakmadan imza, sonuç bu. Ama tepki bir tek burada yok. Halbuki en önemli ülke hem Asya hem Avrupa'yız.

Alp dağları yüksek, yüce demektir. Oralarda Hun türkçesinden kalma köy isimleri var. Biraz kazı hepTürk çıkar. Biz hep oradaydık. Viyana kuşatmasından Kara Mustafa Paşa'dan kalanlar son nesillerde unutmuşlar türkçelerini. Ciddi işler şaka ile daha iyi olur. "Ey Viyanalı kardeşlerim" diye konuşmama başlayınca, gene geldiniz ne kadar kalacaksınız diye sordular. 250.000 Türk var Viyana'da. Her yerde Türkçe yazılar dolu ama burada Türkçe yok.

Menderes zamanında 100'er bavul ile Avrupa'ya giderlerdi. Baba hindi hediye etmişler. Şimdi de çuval ama bütün milletin kafasına geçirdiler sadece üç kişiye değil.

İngiltere ajan ülke. Blair'i kendi halkı da sevmiyor. Avrupa'da tek kelime ingilizce yok. Kendi ihraç ürünlerinde bile ingilizce yok. Nescafe Miskahve olacak. (Arkasında duran Nescafe afişine bakarak) Bizde ise ihracatta sadece ingilizce kullanıyorlar. Hollandalı Philips batacak. Rekabet edemiyorlar. İngilizler kendileri söylüyor biz artık sadece ingilizce satıyoruz diye (dil olarak) . Avrupa'da adamlara ingilizce söylesen dövecek gibi bakar. Bizimkiler baba Bush'un yanına gitmiş "I speak english" falan diyor adam da .tir oradan gibilerinden hareket yapıyor. Haysiyetli devlet adamı arslanlar gibi Türkçe konuşur ve işi tercümanlık olan birisi de ingilizce'ye çevirir. O zaman herkes saygı ile dinler. Yoksa kuçu kuçu gelmiş derler.

Bunlar millete yapılan beyin ameliyatlarının neticesidir. Bir doktora sordum beyinsiz ve ciğersiz bir insan yaşayabilir mi diye. Olmaz dedi. Ama nasıl olur milyonlarcası geziniyor dedim. Ama şimdi milyonlarcası da anlıyor artık durumu. Kimileri İngilizce eğitim yapıyoruz çünkü AB'ye gireceğiz diyorlar. Devlet misyoner okulları açtı. Türk lisesi dememek için Anatolia lisesi dediler. Anatolia Roma'nın eyaletinin ismidir. Türkçe okutulmayan Türk lisesi olur mu? Atatürk T.E.D (Türk Eğitim Derneği) eski adı Türk Maarif Cemiyeti'ni kurdu. İkisi de Türkçe ikisini de kullanabilirisiniz. Örnek okul olarak. Bütün dersler Türkçe ama yabancı dil iyi öğretilirdi. Şimdi öğretim ingilizce olarak yapılıyor, işin kötüsü şimdiki yöneticiler de Atatürk'ün böyle istediği şeklinde açıklamalarda bulunuyorlar. Bu, tarihin tahrifidir. Şerefsizliktir.

Nutuk Türkçe, Türkçeye tercüme edilir mi? Bu kadar kısa sürede anlayamaz hale geldik. Eski terimleri de öğrenmeliyiz. .okusa da anlayamaz hale gelmek olmaz. Mezar taşını bile okuyamazsınyoksa. Eskileri de okuyacaksın. Biz divan edebiyatı da tasavvuf edebiyatı da okuyorduk, Türk yazıtlarını da. 100 sene evvele dönelim anlamına değil köprüleri atmayacaksın, oyunun bini bir para batılılarda. Yeni kavramlar üretelim. Ben yeni kavramlar türetme elebaşısıyım.

Tarzanca öğrenip Avrupa'ya gidiyorlar ama kimse suratına bakmıyor. Biraz o ülkenin dilini öğrenince birşeyler oluyor. ABD ordusu da 10 sene sonra Ispanyolca konuşuyor olacak. Harpten sonra 50 sene ingilizce tamam, ama şimdi değişiyor. Amerika'da şimdi Çince öğreniyorlar. Tarzanca sınıfında İngiltere'nin neresinde hangi kilise var onu öğretiyorlar. İnsanları tek dil ve tek kültürlü yapmak insanlık suçudur. Çok kültürlülük insanlığın zenginliğidir.

YÖK kurulmadı kurduruldu. Araştırmalar yapılıyordu, toplum işlerine de kafa çalışmaya başlamıştı. Rahatsız oldular. YÖK kurduruldu. İşi bitirdiler. Bu durumda araştırma yapana vay alçak ne araştırma yapıyorsun derler. Tarzanca okursanız.. Beyin ameliyatı böyle yapılır bir millete.

Erasmus AB'nin programı. .

Bunlar 50-60 yıllık ruhbilimsel savaş. Anlarsın ama idrak edeceksin yoksa bu ülke bitiyor. AB'de işsizlik %20'yi geçmiş. Orada çalışamazsın. Asya ile rekabet edemiyor.

Bizim halkı kendi haline bıraksan coşar. Bir ara üç ay hükümet yoktu, memleket üç ayda birden kalkındı.

Avrupa kanunları deyip bize getiriyorlar Avrupa'da öyle kanun yok, Avrupalının haberi de yok. Avrupa gösterip asıl dünya kraliyetini kurmakta olanlar yaptırıyor. Çaresi palamut idmanı. Öğrenin yabancı dil ama hangisi lazımsa onu öğrenin. Bir kölesi biz kaldık bunların. Belli sayıda Çin uzmanı, Hind, Arap dilini kültürünü bilen uzman yetiştir.

İttihat ve Terakki memleketi teslim etti. Almanlar bizi sever dediler. İyi tarafları vardır ama ırkçıdır. Fransa da öyle İngiltere de öyle ama İngiltere belli etmez. İki temel kitapları var bunların ikisi de katliamdan bahseder. Hangi kitaplar olduğunu bulmak da ev ödevi olsun size. AB ve Azmanistan'da işsizlik başlayıp iktisat çökünce ırkçılık başlar orada çünkü ciğeri cebinde, kime inandığı da $'ın üstünde yazıyor. Hazırlıklı olun.

Türklerin gittiği bir üniversite. Papaz üniversitesi. Master programı bile yok. Türkler geliyor diye apar topar master programı koyuyorlar.

Düzgün insansan , herkesten fazla çalışırsan, Türk olduğunu unutmazsan eşitler arasında dünya kardeşliği olur o zaman - Tasavvuf Uygurlardan geliyor- o zaman birşeyler yaparsın. Şahsiyetsiz olursan hiçbirşey yapamazsın.

Matematik + Bilim + Gönül = Gerçek İnsan

17 Ekim'de ayarlı basın altın harflerle "giriyoruz" diye yazıyorlar, adamlar belki 20 sene sonra konuşuruz seninle diyorlar. Aynı anda Le Monde'da bir AB yetkilisi 5-10 seneye kalmaz dağılacak diyor. Ayarlı basın şunları da yapın da alacaklar diyor ama onlarda yok. Niye almak istemiyorlar? Müslüman diye mi? -Değil. İngiltere gibi ikinci bir ajan ülke (ABD ajanı) istemiyorlar da ondan almıyorlar. Avrupa'da ne gençlik, ne kaynak, ne ordu var ama hala kafası çalışan insanlar var onun için ayakta duruyor.

Hastayı tedavi etmek için 1) Arazlara bakacaksın. Teşhisi koyacaksın ama yetmez. 2) Tedavi edeceksin. Ama koyvermeyeceksin. Ben inanıyorum tedavisi var. Ben hiçbirzaman ümidimi kaybetmem. Bir Atatürk daha çıksa diye düşünürsen şahsi tembelliktir bu. Bir Atatürk daha çıksa ne yapar yahu. Önderler toplumun içinden çıkar. Tabana dayanır. Büyük meseleler küçük küçük adımlarla çözülür. Ümitsizliğe kapılmak huyum değil. Şu odanın doluşu bu milletin şerefli yaşayacağının köle olmayacağının alametidir.

Bir konuşmaya çağırdıkları zaman tek şartım var: her çeşit millet olacak. Sağcısı , solcusu, alevisi, başörtülüsü hepsi yanyana. Dışarının ayırma oyunları bunlar, gelenekleri bozarak, eğitimi bozarak, en korkunç harp silahı bunlar. Mart'ın sonunda civarda harp var ama bize bomba yok. Zaten halledilmiş. Kurtuluş savaşı da aynı silahlarla verilecek: kafa, kalem, gönül.

Herkes kendine düşeni yapacak, başını belaya da sokmaz. Bu ülke kendine yakışan yerini elbet alacak. Gözlerinizden okuyorum.

Sağolun , varolun.

Prof.Dr.Oktay Sinanoğlu

Not: Levent Genç'in iletisi aynen aktarılmıştır."

Kaynak:http://bilim.ficicilar.name.tr/sayfa/matematik_bilim_gonul.html

Edison Sırrı

Edison ölüm döşeğinde... Yatağın başındaki en baba profesörler meraktan inim inim inliyomuş. Sonunda biri dayanamayıp ağzındaki baklayı çıkarmış: “Yahu Edison, bak ölüyosun. Tanrı aşkına söyle. Nasıl buldun bu elektriği, ampulu?” Mucit baba zaten son nefesini vermek üzereymiş, “Bu zamana kadar sakladım da n’oldu? Şunlara söyleyim de gider ayak bi hayır olsun” diye düşünmüş.
Hafifçe doğrulmuş, “Bakın” demiş, hepsi, o koca koca bilimadamları, Aynştayn, Madam Küri, Pastör mastör pür dikkat kulaklarını dikmiş. Edison son bi gayretle kapıya doğru uzatmış parmağını, “Şu içerki odada bi kasa var. Anahtarı da çalışma masamın ikinci çekmecesinde. Ben öldükten sonra açın bakın, sorunuzun cevabı o kasada gizli.”

Neyse, Edison beş dak’ka sonra hakkın rahmetine kavuşmuş. Adamların hepsi bir koşu kasanın başında almışlar soluğu. Kasayı açmışlar ki bir de ne görsünler; kasada Nur Suresi duruyomuş, Nur Suresiii...

1 Mayıs 2008 Perşembe

Eksiklik Teorisi

Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Gödel'in ifadesiyle: "Her ω-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin bağsız değişken idir)."

Daha Türkçe bir anlatımla:

"Sayı Kuramı nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."

Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, Sayı Kuramı nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.

Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta) Eubulides Paradoksu, vs...

En çarpıcı ve yalın olanı Eublides paradoksudur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.

Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belirtidir. Euclides (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementler de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu 5. belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdirler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik Geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.

Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.

Gödel, bu teoremle Hilbert'in Programı 'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, Matematiğin her problemini bir bilgisayar programıyla elde edip çözüme ulaştırabilme inancını taşıyordu. Gödel bunu bu teoremle çürütmüştür.

Matematiksel Kehanet

Nümeroloji, her şeyin sayılara indirgenebileceği dolayısıyla her şeyin sayılarla ifade edilebileceği fikrinden hareket ederek, geleceğe ait kehanetlerde veya kişilerin karakterlerini yorumlamada sayıların kullanılmasıdır. Yunan ve İbrani alfabelerinde her harf bir sayıyı gösteriyordu. Nümerolojide de yazı veya isimlerdeki harflere sayılar yerleştirilir, bunlara bakarak mevcut durum ve geleceğe yönelik kehanetlerde bulunulur.

Zamanla bu yöntem kutsal kitaplarda da aynı şekilde bir takım gizli mesajlar ve geleceğe ait bilgiler arama çalışmalarına dönüştü.

Matematik katı ve soyut bir sistematik, bir düzen ifadesi olarak bilinir. Yani iki ile ikinin çarpımı her zaman dörttür. Ancak matematik istenildiğinde insanların kafalarını karıştırmakta da rahatça kullanılabilir. Bir çeşit matematik sihirbazlık yapılabilir. Çok basit iki örnek verelim:

1946 yılı doğumlu, halen 57 yaşında olan müdürünüz 2001 yılında bu göreve geldi ve 2 senedir görevini sürdürüyor. Bütün bu sayıları toplayalım: 1946+57+2001+2 = 4006.
Diyelim ki siz de 1965 doğumlusunuz, yani 38 yaşındasınız, son görevinize 1990 yılında başladınız ve 13 senedir de bu görevi sürdürüyorsunuz. Bu sayıları da toplayalım: 1965+38+1990+13 =4006. Şaşırtıcı değil mi? Sonuçlar, yani karakteriniz ve kaderiniz patronunuzla aynı.

Aslında kime bu formülü uygulasanız aynı sonucu bulursunuz. Bir insanın doğum yılma yaşını, göreve geldiği yıla görev süresini eklerseniz tabii ki aynı sayıyı, içinde bulunduğunuz yılın iki katını bulursunuz.

İkinci örnekte bir ekonomik sihirbazlık yapalım. Malum dış borç milyarlarca dolar. Diyelim ki bir dolar, 1.000.000 TL ediyor.

l dolar = 1.000.000TL (her iki tarafı l milyona bölelim) l dolar/l .000.000 = l.000.000 TL /l.000.000 (sağ tarafı sadeleştirelim) l dolar/l.000.000= 1 TL

(her iki tarafın karekökünü alalım) (karekök)(l dolar/1.000.000) = (karekök) (l TL) l dolar/1.000= l TL (her iki tarafı l .000 ile çarpalım) l dolar = 1.000 TL

Eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemleri uyguladığımızdan, matematiksel olarak işlemler sırasında eşitliğin bozulmaması gerekir. 100 milyar dolarlık borcun binde birine inerek artık 100 milyon olduğunu iddia edebiliriz. Hata nerde mi? Onu da borcu veren düşünsün.

Ölçü Birimleri

Suyun debisinin ölçülmesinde kullanılan ölçü birimleri ; Su kaynağının debisinin ölçülmesinde birim olarak “lüle” kullanılmıştır. 1 lüle yaklaşık olarak 26 mm çapında bir borudur ve dakikada 36 litre su akıtır. Günlük yaklaşık 52 m3 su olarak kabul edilir. Şehir içinde yer alan su taksim istasyonlarında bulunan dağıtım sandıklarında kullanılan boruların günlük debisi ise dağıtım yapılan bölgenin ihtiyacına göre ayarlanmıştır ve aşağıdaki gibidir. 1 Hilal 0,5625 lt/Dak. (Günde-0,81 m3)
Çuvaldız 1,125 lt/Dak. (Günde-1,62 m3)
1 Masura 4,5 lt/Dak. (Günde-6,48 m3)
1 Kamış 9 lt/Dak. (Günde-12,96 m3)
1 Lüle 36 lt/Dak. (Günde- 51,84 m3 ~ 52 m3)

Uzunluk ölçüleri ;

Uzunluk ölçü birimi olarak “arşın” kullanılmış olmakla beraber , çarşı arşını ile mimar arşını ( Zira-ı Mimari / Zira ) ve dolayısıyla alt birimleride birbirinden farklıdır.
Çarşı ölçüleri
1 Arşın 0,6858 mt.
1 Rub (urub) 0,0857 mt. (1/8 Arşın)
1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 mt. (1/16 Arşın)
1 Endaze 0,6525 mt.
Mimar ölçüleri
1 Arşın (Zira) 0,757738 mt.
1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 mt.
1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 mt.
1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 mt.
Çarşı ölçü birimi ve 68,58 cm’e karşılık gelen Arşın ölçü birimi ile yine bir çarşı ölçü birimi olan ve 65,25 cm’e karşılık gelen Endaze ölçüleri birbirlerine çok yakın değerlerdedir.

Ağırlık ölçüleri ;

1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg.
1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg.
1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg.
1 Okka/Kıyye (400 Dirhem) 1,282945 kg.
1 Dirhem 3,2073625 gr.
1 Miskal 4,5819464 gr.
7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 gr.
1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 gr.
1 Kırat (1/4 denk) 0,20046 gr.
1 Buğday (1/4 kırat) 0,05011 gr.

Mehmet İzzet’in 1912 baskısı İlm-i Hisab kitabına göre ise ağırlık ölçüleri farklı tarif edilmektedir.

Evzan-ı Kebire ( Büyük ağırlık ölçüleri) ;
1 Çeki 225,978 kg.
1 Kantar 56,450 kg.
1 Batman 7,692 kg.
1 Kıyye 1,282 kg.
Evzan-ı Mutavassıta ( Orta ağırlık ölçüleri) ;
1 Dirhem 3,207 gr.
1 Miskal 4,810 gr. ( 1,5 Dirhem )
1 Denk 0,80175 gr. ( 1/4 Dirhem )
Evzan-ı Hafife ( Hafif ağırlık ölçüleri) ;
1 Kırat 0,20043 gr. ( 1/4 Denk )
1 Bağdadi 0,0501 gr. ( 1/4 Kırat )
1 Fitil 0,0125 gr. ( 1/4 Bağdadi )
1 Nakir 0,00626 gr. ( 1/2 Fitil )
1 Kıtmır 0,00313 gr. ( 1/2 Nakir )
1 Zerre 0,00156 gr. ( 1/2 Kıtmır )

Alan Ölçüleri ;

1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600 zirakare )
1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 zirakare ) = ( 40 x 40 zira )
1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )
1 Zirakare= 0,57416 m2

Olasılığın Tarihi

Bugünkü anlamıyla istatistik ve olasılığın konusu başlıca; Şans oyunları İnsan hayatı ve ölçümlerine ilişkin biriken kayıtlardan kaynaklanır. Bu kaynakların her ikisi de, gerçekten tanımlanabilir biçimde, onyedinci yüzyılın ortalarından itibaren ortaya çıkar .Klasik olasılık kavramı bu kaynakların ilkinden, deneysel olasılık kavramı ise isatistikler üzerine kurulu ikinci kaynağa bağlı olarak gelişmiştir. 1650 yıllarında kumar fransız toplumunda çok yaygındı. Zar, kart, para atışı, rulet gibi oyunlar oldukça gelişmişti. Paraya olan ihtiyacın artması bazı formüllerle kumar şansının hesaplanacbileceği düşüncesini getirdi.Méré gibi etkili, sözü geçen kumarbazlar Pascal, Fermat ve daha sonra d’Alembert ve De Moivre gibi zamanın önde gelen matematikçilerinin bu konuda yardımcı olabileceğini düşündüler. Matematikçilerin problemi benimsemesiyle klasik olasılık konusu şekillendi.

Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi. Huygens 1657 yılında konuyla ilgili ilk bilimsel eseri yayınladı. Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı. Olasılıkların çarpılması kuralı başlığıyla bilinen genel teorem de Moivre tarafından 1718 yılında öne sürüldü ve 1733’den 1738’e kadar normal olasılık dağılımı ve merkezi limit teoreminin bir özel durumu yine aynı matematikçi tarafından tartışıldı. Normal dağılışla ilgili daha ileri gelişmeler Gauss tarafından gerçekleştirildi. Aşağı yukarı aynı zamanlarda “En Küçük Kareler” kuralı Legendre tarafından formülleştirildi. Laplace 1812 yılında şans oyunlaryla ilgili matematiksel teorinin tam bir özetini verdi. 1812 yılından hemen sonra ise klasik matematikçilerle olan temas bir bakıma kaybolmuştu. Konuya ilişkin daha sonraki gelişmeler teorik ve uygulamalı alanlarda çalışan istatikçiler tarafından gerçekleştirildi. Gaunt’ın 1662 yılında İngiltere’deki hayat ve ölüm kayıtlarını yayınlaması olasılığın ve deneysel olasılığın bugünkü biçimine dönüşmesinde ilk adım oldu.
Birkaç yıl sonra bu kayıtlar ve bunlarla ilgili yorumlar Halley tarafından önemli derecede geliştirildi. Halley’e bazen bu nedenle istatisliğin babası bile dendi.
İstatistik 200 yıllık bir zaman süresince çok fazla ilerleme sağlamadan gelişimini surdürdü. 1920 yılında matematikçilerle etkin temas tekrar sağlanarak ve bugun matematikteki gelişmelere bağlı olarak birçok yeni yeni uygulama alanı ile bu ilişki sürmektedir.

Olasılık teorisinin başlangıcı ifade edildiği gibi şans oyunlarıyla ilgili fiziksel gözlemlerde yatmaktadır. Yansız bir para biriminden bağımsız olarak bir çok kez atıldığında yazıların göreli sıklığının, yani tüm atışlar sonunda gözlenen toplam yazı sayısının toplam atış sayısın oranının ½ sayısına yakın olmasının çok muhtemel olduğu bulunmuştur. Benzer şekilde iyice karıştırılmış 52’lik oyun oyun kağıdı destesinden bir kağıt cekilip, bu kağıdı desteye koyup desteyi tekrar kurarak kağıt çekme işlemi aynı koşullarda birçok kez tekrar edilirse, desteden elde edilen maça sayısının tüm çekiliş sayısına oranının, yani maçaların göreli sıklığının ¼ sayısına yakınsadığı görülür.

Kart demetinde tek kart seçildiğinde 52 mümkün sonuç vardır. Sonuçlardan herhangi birini diğerinden farklı kılacak bir sebep olmadığından konuyla ilk ilgilenenler uygun sonuçların bütün mümkün sonuçlara oranını, yani 52’lik destede toplam 13 maça olduğundan 13/52 veya 1/4’ü bir maça elde etme olasılığı olarak adlandırılır.

Olasılığın klasik tanımı olarak bilinen ve bir olayın olasılığının tüm meydana gelişler eşit şanslı olduğunda olayla ilgili sonuçların sayısının tüm mümkün sonuçlara oranı olarak veren tanım kısıtlayıcı ve kısır döngülüdür. Tanım sırasında “eşit şanslı” diye olasılığı tanımlarken olasılık kavramı kullanılmaktadır. Bu nedenle bu düşünceyi olasılık teorisinin temeli olarak alamayız. Bununla beraber olasılık teorisiyle ilk ilgilenenler yine de geçerli ve faydalı sonuçlara ulaşmışlardır.

Benzer şekilde, olasılığın göreli sıklık tanımı da problem yaratacaktır. Sn n bağımsız denemede bir olayın meydana gelişlerinin sayısı ise, fiziksel olarak Sn/n göreli sıklığın bir limite yakınsayacağı beklenir. Bununla beraber limitin varlığı matematiksel anlamda ileri sürülemez. Yansız bir paranın birbirinden bağımsız birçok kez atılması durumunda Sn/n oranının 1/2 değerine yakınsaması beklendiği halde, paranın daima yazı gelmeside akla uygun bir sonuçtur. Bir başka değişle Sn/n oranın 0 ile 1 arasında bir sayıya yakınsaması ya da Sn/n oranının bir limiti olması da mümkündür.

Olasılık teorisinin matematiksel olarak gelişirken rastgele deneyin tüm mümkün sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı denen  gibi bir küme tanımına ihtiyaç duyulur. Doğal olarak farklı deneyler için  da farklı olur. Bir zar atıldığında  ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }dır. Bununla beraber aynı deneye bağlı olarak her atışta çift (Ç) veya tek (T) sayı elde edilmesi ile ilgiliysek  = {Ç, T}dir. Görüldüğü gibi aynı deney için ilgilendiğimiz sonuçlara bağlı olarak farklı örnek uzayları da tanımlanabilmektedir.

Genel olarak her deneyin sonucu örnek uzayı  da bir tek noktaya karşı gelmelidir. Sonuçları önceden tahmin edilemeyen bir deneyin (rastgele deney) uygulanması ile oluşturulan örnek uzayının her alt kümesi bir olaydır. Bir olayı belirten A kümesindeki her nokta A olayına uygun bir sonucu ifade eder. Buradan hareketle her deneyin sonucu örnek uzaydaki bir noktaya karşı geleceğinden  ya kesin olay, örnek uzayının dışındaki bir olaya ise imkansız olay denir.
İmkansız olay örnek uzayındaki noktaları içermediğinden boş küme  ile belirtilir. ’nın bütün alt kümelerini olay olarak nitelemek her zaman mümkün olmayabilir. ’daki bir noktaya ilişkin sonuçtaki bazı bilgileri atabilir veya ölçemeyebiliriz.O zaman cıkarılan veya eksik olan bu bilgiye bağlı olarak A olayının meydana gelmesi hakkıda karar verilemiyebilir.Örneğin bir para 5 kez atıldığında sadece ilk 3 atıştakı sonuçlar kaydedilmiş olsun .Bu durumda A={en az dört yazı}ölçülemez. Olasılığın kümesel cebirine bağlı olarak geliştirilmesi küme kavramı ve kümeler cebirinin incelenmesine bağlı olduğundan daha sonraya bırakılmıştır.

Olasılığın genel konusu
Matematiksel
İstatistiksel verilerin ölçümleri
Doğa teorisi
Bilginin kendi teorisinin bir karışımıdır.

Bu nedenle bu konuda bilgisini genişletmek isteyen herkez kaçınılmaz olarak bunların tümünü kapsayacak bir gelişmenin zorunlu olduğun görür. Dolayısı ile olasılık teorisine girişte matematiğin bazı temel konularına değinmek, aksiyomatik yapıyı kurup bunu geliştirmemizde bize yardımcı olcaktır. Bu nedenle ilk olarak küme kavramı bu küme cebiri, kartezyen çarpımlar, fonksiyon kavramı ve kümelerin sayılabilirliği konularına değindikten sonra olasılık kavramı ele alınacak, olasılık uzaylarına kadar olan bir gelişime yer verecektir.

Geometri Tarihi


Uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalı. Yunanca «ge», yer ve «metron», ölçüden. Geometri Nil kıyılarında doğdu. Bu ırmağın düzenli aralıklarla taşması, tarlaların sınırlarını siliyor, Mısırlıları güç sorunlarla karşı karşıya bırakıyordu: çünkü tarlaların sınırlarını yeniden çizmek, herkese kendi yerini vermek, bunun için de tarlaların yüzölçümünü hesaplamak, nirengiler dikmek, kısacası, geometri yapmak gerekiyordu.




Doğru Kavramının Anlaşılması İçin

insanlara, yer ölçümüne ilişkin somut sorunları çözümleme olanağını veren geometriden, giderek soyut bir geometri doğdu. Böylece aynı kavramın değişik durumlara uygulanabileceği anlaşıldı. Sözgelimi, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle çekülün gergin ipi arasında hiç bir maddi ortaklık yoktur; ama ikisi de geometride doğru adı verilen kavramı belirtir; doğru kavramı, ancak bunun gibi somut örneklere bakılarak anlaşılabilecek bir kavramdır.

Bir kâğıdın üstüne çizilen düz bir çizgi, doğru hakkında yaklaşık bir fikir verir. Oysa doğru, sınırlı değildir (çizgi ise yaprağın kenarında biter) ve doğrunun kalınlığı yoktur (çizginin ise ne kadar ince çizilmiş olursa olsun, bir kalınlığı vardır). Bunun gibi, bir topa, bir küreye bakılarak küre kavramı hakkında bir fikir sahibi olunabilir.

Eukleides’in Aksiyomları ve Teoremleri


İskenderiyeli bir Yunan bilgini olan Eukleides, M.Ö. III. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. Eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarak, öne sürdüğü sonuçları, kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu.


Bunun için önce, sezgiye dayanan birtakım kavramlar (nokta, doğru, düzlem) kabul etti (aksiyom), sonra doğru sandığı, ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütün, parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. Bu aksiyom’larla postülat’lara dayanılarak geometri teorem’leri kurulur.


Kuşkusuz Eukleides, aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdı, ama ona ve çağdaşlarına göre bunlar, tartışma götürmez gerçeklerdi. Sözgelimi, dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyordu, çünkü gerçek hayatta, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle, elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu.


Eukleides geometrisi, üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometri, bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur.


Eukleides Dışı Geometriler


Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).


Cebir tekniklerinin geometriye uygulanması, noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri’yi doğurdu (Descartes).


Rönesans Ressamları ve Tasarı Geometri


Tasarı geometri’de, uzay geometrinin şekilleri veya öğeleri, tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kâğıt) aktarılır. Rönesans’ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa da, onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometri, kaba perspektif), matematikçi Monge olmuştur.


İzdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak), resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. Ama asıl yeri, aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisi, matematiğin bir dalıdır.


Saf (Katıksız) Geometri


Geometride, her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmakta, başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. Burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. Her şeye rağmen, maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur.


Yüzölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gökcisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.


Bununla birlikte, matematik çalışmaları daha ileriyi, uzak geleceği de göz önünde tutar. Hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. Bu çalışmalar, doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. Saf geometrinin esası budur.


Thales


Ünlü bir bilgin ve filozof olan (Yunanistan’ın Yedi Bilge’sinden biridir) Miletoslu Thales (M.Ö. 640-562), düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. Thales, bir yapının yüksekliğini, onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu.


Pithagoras


«Birdik üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi Pithagoras bulmuştur. Çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur.


Monge


Tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı Gaspard Monge (1746-1818), bütün XIX. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır